Berechnen Sie Varianz(x)

Question

Aufgabe:

Die Funktion f : R
f(x) =1/2 * sin(x) für x ∈ [0, π],
0 sonst,

sei die Dichte einer Zufallsvariable X. Dann gilt E(X) = π/2. Berechnen Sie Var(X).

Problem/Ansatz:

Ich weiß, dass ich die Verschiebungsformel verwenden kann: Var(x)=E(x²)-E(x)²

Jedoch fällt es mir schwer, die Funktion zu integrieren, damit ich E(x^2) rausbekomme: $\int\limits_{0}^{π}$  x^2*f(x)*dx

Kann es mir jemand mit Rechenschritten erklären? Ich bedanke mich schon einmal im Voraus! :)

Answer 1

Aloha :)

Aus der Aufgabenstelltung kennen wir bereits:$$f(x)=\frac{\sin(x)}{2}\quad;\quad x\in[0;\pi]$$$$E(X)=\int\limits_0^\pi x\cdot f(x)\,dx=\frac\pi2$$Zur Berechnung von $E(X^2)$ verwenden wir 2-mal partielle Integration:$$E(X^2)=\int\limits_0^\pi x^2\cdot f(x)\,dx=\int\limits_0^\pi \underbrace{x^2}_{=u}\cdot\underbrace{\frac{\sin(x)}{2}}_{=v'}\,dx$$$$\phantom{E(X^2)}=\left[\underbrace{x^2}_{=u}\cdot\underbrace{\frac{-\cos(x)}{2}}_{=v}\right]_0^\pi-\int\limits_0^\pi \underbrace{2x}_{=u'}\cdot\underbrace{\frac{-\cos(x)}{2}}_{=v}\,dx=\left(\frac{\pi^2}{2}-0\right)+\int\limits_0^\pi \underbrace{x}_{g}\cdot\underbrace{\cos(x)}_{h'}\,dx$$$$\phantom{E(X^2)}=\frac{\pi^2}{2}+\left[\underbrace{x}_{g}\cdot\underbrace{\sin(x)}_{h}\right]_0^\pi-\int\limits_0^\pi \underbrace{1}_{g'}\cdot\underbrace{\sin(x)}_{h}\,dx=\frac{\pi^2}{2}+(0-0)-\int\limits_0^\pi\sin(x)\,dx$$$$\phantom{E(X^2)}=\frac{\pi^2}{2}+\left[\cos(x)\right]_0^\pi=\frac{\pi^2}{2}+(-1-1)=\frac{\pi^2}{2}-2$$Damit haben wir als Varianz:$$\operatorname{Var}(X)=E(X^2)-E^2(X)=\frac{\pi^2}{2}-2-\left(\frac{\pi}{2}\right)^2=\frac{\pi^2}{4}-2$$

Comments

Herzlichen Dank :)