Aufgabe:
Sei \( \alpha: \mathbb{Q}^{3} \rightarrow \mathbb{Q}^{3} \) der lineare Endomorphismus des Standaradvektorraums \( \mathbb{Q}^{3} \) mit Koordinatenmatrix
\( A=[\alpha]_{\mathfrak{E}}=\left(\begin{array}{ccc} -5 & 2 & 10 \\ -1 & 0 & 1 \\ -5 & 1 & 10 \end{array}\right) \in \operatorname{Mat}_{3}(\mathbb{Q}) \)
bzgl. der Basis \( \mathfrak{E}=\left(e_{1}, e_{2}, e_{3}\right) \), bestehend aus \( e_{1}=(1,0,0), e_{2}=(0,1,0), e_{3}=(0,0,1) \).
Verifizieren Sie, dass die Abbildung \( \beta: \mathbb{Q}^{3} \rightarrow \mathbb{Q}^{3}, v \mapsto(v \alpha) \alpha+v \) linear ist und geben Sie die zugehörige Koordinatenmatrix \( B=[\beta]_{\mathfrak{E}} \) an.
Problem/Ansatz:
Hallo, kann mir jemand bei der Aufgabe helfen? Wie man zeigt, dass eine Abbildung linear ist, weiß ich. Und auch wie man die koordinatenmatrix bestimmt. Allerdings verstehe ich die Abbildung bzw. die abbildungsvorschrift nicht so ganz.
