Aloha :)
Die Rotation ist nur im 3-dimensionalen Raum definiert. Das heißt \(\vec v(x;y)\) muss 3-dimensional sein:
$$\operatorname{rot}\begin{pmatrix}v_1\\v_2\\v_3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\partial_x\\\partial_y\\\partial_z\end{pmatrix}\times\begin{pmatrix}v_1\\v_2\\v_3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\partial_y v_3-\pink{\partial_zv_2}\\\pink{\partial_zv_1}-\partial_xv_3\\\partial_xv_2-\partial_yv_1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\partial_y v_3\\-\partial_xv_3\\\partial_xv_2-\partial_yv_1\end{pmatrix}$$
Die \(\pink{\text{pinken}}\) Terme sind Null, weil die Komponenten \(v_1,v_2,v_3\) nicht von \(z\) abhängen.
