Aufgabe:
Text erkannt:
Seien \( X \) und \( Y \) zwei metrische (oder topologische) Räume und \( f: X \rightarrow Y \) eine Abbildung. Zeigen Sie, daß \( f \) genau dann stetig ist, wenn die Beziehung \( f(\bar{A}) \subset \overline{f(A)} \) für alle Teilmengen \( A \subset X \)
gilt.
Text erkannt:
Problem:
Ich habe eine Funktion, die scheinbar der Angabe widerspricht und die dort gegebene Aussage widerlegen würde. Ich glaube aber nicht, dass die Angabe falsch ist, deswegen müsste in der folgenden Argumentation irgendwo ein Fehler sein, den ich aber nicht finde.
Ich betrachte folgende Funktion:
\( f(x)=\left\{\begin{array}{ll} \sin (x) & x \neq 0 \\ 1 & x=0 \end{array}\right. \)
Diese Funktion ist unstetig.
Nun wähle ich zum Beispiel \( A:=[0 ; 2 \pi] \subset \mathbb{R} \), somit gilt \( \bar{A}=A \) (weil der Abschluss einer abgeschlossenen Menge die Menge selbst ist) und \( f(\bar{A})=[-1 ; 1] \) sowie \( \overline{f(A)}=[-1,1] \). Damit gilt auch \( f(\bar{A}) \subset \overline{f(A)} \)
Da \( A \) sowie \( f(A) \) Teilmengen von \( \mathbb{R} \) (also einem metrischen Raum) sind. Sind Anforderungen an \( f \) in Definitions- und Bildbereich erfüllt.
