Viereck und Vektoren im Raum

Question

Aufgabe:

2. Betrachten Sie das Viereck $\overline{A B C D}$ mit don Eckpunkten $A(1|1| 1), B(6|2| 8), C(7|4| 7)$ und $D(2|3| 0)$.

a. Bestimmen sie die Vektaren $\overrightarrow{A B}, \overrightarrow{B C}, \overrightarrow{C D}$ und $\overrightarrow{D A}$.

b. Rerechnen Sie die Summe der Vektaren $\overrightarrow{A B}, \overrightarrow{B C}$ und $\overrightarrow{C D}$ aus a. Vergleichen Sie Ihr Ergebnis mit DA.

c. Eegründen Sie ohne Rechnung, welche der wer Vektoren ous a die gleiche Louge haben und welche parallel zueinander sind.

d. Bestimmen Sie, wie viele rechte Winkel das Viereck besitzt.

e. Erstellen Sie eine angemessene Zelchnung des Vierecks und benennen Sie es mothemotisch karrekt.

f. Rerechnen Sie den Schnittpunkt der beiden Diogonalen $\overline{A C}$ und BD. in welchem Verhäitnis werden die Diagonolen geteilt? Ergönzen Sie es in shrer Zeichnung.

Ansatz/Problem:

Ich weiß nicht genau, wie ich in Aufgabe 2): a),b),c),d) und f) vorgehen muss.
Eine Lösung zu den Aufgaben, welche ich nachvollziehen und durcharbeiten kann, würde mir sehr helfen.
Vielen Dank und liebe Grüße

Answer 1

Hallo,

a) Den Vektor zwischen zwei Punkten A und b bestimmst du mit

$\overrightarrow{A B}=\left(\begin{array}{l}b_{1}-a_{1} \\ b_{2}-a_{2} \\ b_{3}-a_{3}\end{array}\right)$

b) Vektoren addierst du, indem du die einzelnen Koordinaten addierst.

$\vec{a}+\vec{b}=\left(\begin{array}{l}a_{1} \\ a_{2} \\ a_{3}\end{array}\right)+\left(\begin{array}{l}b_{1} \\ b_{2} \\ b_{3}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{l}a_{1}+b_{1} \\ a_{2}+b_{2} \\ a_{3}+b_{3}\end{array}\right)$

c) Die Länge eines Vektors berechnest du mit

$\vec{a}=\left(\begin{array}{l}a_1 \\ a_2 \\ a_3\end{array}\right) \quad|\vec{a}|=\sqrt{a_1^{2}+a_2^{2}+a_3^{2}}$

Du erkennst also anhand der Koordinaten auf einen Blick, wenn zwei Vektoren aus a) die gleiche Länge haben.

Zwei Vektoren sind parallel, wenn ein Vektor ein Vielfaches des anderen Vektors ist.

d) Zwei Vektoren sind senkrecht/orthogonal zueinander, wenn ihr Skalarprodukt = 0 ist.

Das Skalarprodukt berechnest du so:

$\vec{a} \circ \vec{b}=\left(\begin{array}{l}a_{1} \\ a_{2} \\ a_{3}\end{array}\right) \cdot\left(\begin{array}{l}b_{1} \\ b_{2} \\ b_{3}\end{array}\right)=a_{1} b_{1}+a_{2} b_{2}+a_{3} b_{3}$

e) Eine Zeichnung kannst du beispielsweise mit Geogebra erstellen.

f) Stelle die Gleichungen der Diagonalen auf, setze sie gleich und

melde dich, falls du noch Fragen hast.

Gruß, Silvia

Answer 2

 $\overrightarrow{A B} = \begin{pmatrix} 6\\2\\8 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 1\\1\\1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5\\1\\7 \end{pmatrix}$

Damit bekommst du auch $\overrightarrow{B C}, \overrightarrow{C D}$ und $\overrightarrow{D A}$ hin.

Probier mal und gib deine Ergebnisse an !

Answer 3

e)

https://www.matheretter.de/rechner/schragbild?draw=viereck(1%7C1%7C1…

Das Viereck ist ein Parallelogramm.