zwei zueinander senkrechte ebenen

Question

Aufgabe:

(1) Geben sie eine Gleichung der Ebene F, die die Gerade h enthält und senkrecht zur Ebene E aus b) ist, in Parameterform an.

(2) Bestimmen sie eine Gleichung der Schnittgeraden h´ der eben E und F

Problem/Ansatz:

Hallo zusammen, kann mir evtl. jemand bei der rot Umkreisten Aufgabe helfen? Ich habe absolut keinen Ansatz und keine Idee wie man diese lösen könnte.

Ich danke euch im Voraus!

Answer 1

Die Aufgabe ist nicht zu lösen, da dass bei b) keine Ebenengleichung ist.

Comments

Ich halte das für eine Ebenengleichung.

---

Ich auch: es ist die Nebenklasse des Kerns einer

Linearform, also eine (affine) Hyperebene, und da wir

im 3-dimensionalen sind, eine "stinknormale" Ebene.

---

Fehlt denn bei der Normalenform von b) nicht noch ein Stützvektor?

---

Es handelt sich nicht um die Normalenform.
Es ist einfach nur ein inhomogenes lineares Gleichungssystem
mit einer Gleichung, d.h. die Lösungsmenge hat die
Gestalt p+U, mit einer partikulären Lösung
und dem Lösungsraum der homogenen Gleichung.

---

Aber um eine Koordinatenform und um eine Parameterform ja auch nicht.

Und es gibt nur diese 3 Formen.

Also bist du auch der Meinung, dass das in b) keine Ebene ist?

---

Natürlich ist das eine Ebene, welche "Normalformen"
es gibt, ist doch hier vollkommen irrelevant.

Aber wenn du willst: Du kannst es als Koordinatenform auffassen.

---

Also ist es doch richtig, wie ich bereits erwähnt habe, dass b) eine Normalenform ist?

Da welche "Normalformen" vorkommen, ist doch vollkommen irrelevant.

---

Zitat Wikipedia: "Analog wird eine Ebene im dreidimensionalen Raum in der Koordinatenform durch vier reelle Zahlen a, b, c und d beschrieben. Eine Ebene besteht dann aus denjenigen Punkten, deren Koordinaten (x,y,z) die Gleichung

a x + b y + c z = d erfüllen. Hierbei muss zumindest einer der Parameter a, b, c ungleich null sein." Zitat Ende

Es ist falsch zu behaupten, dass  
eine Koordinatenform ist.

---

In der Normalenform wird der Stützvektor explizit
angegeben. Da das hier nicht der Fall ist, liegt
hier nicht die Normalenform vor. Ich habe im Übrigen keine
Ahnung, worauf due eigentlich hinauswillst.

---

Schon mal drüber nachgedacht, dass der Stützvektor auch 0/0/0 sein kann?

---

Keine Koordinatenform? Da steht doch \(2x_1-x_2+2x_3=13\).

Im übrigen, wenn der Stützvektor 0 wäre, käme 0 heraus und nicht 13.

---

Das was du jetzt gemacht hast, war die Normalenform in die Koordinatenform umzuwandeln:

---

Die Normalenform war doch gar nicht gegeben.

---

Ich hätte das hier jetzt als Normalenform interpretiert:

---

Bei der Normalenform steht rechts vom Gleichheitszeichen
eine NULL.

---

Und du meinst sicher wenn der Normalenvektor 0 ist kommt 0 raus.
Der Stützvektor darf ruhig der Ursprung sein.

Schau dir dazu vielleicht nochmal folgendes Bild an:

---

Stimmt, das muss ja Null sein... da haben wir uns beide kurz einmal vertan

So eine Ebenenform habe ich jetzt zum ersten Mal gesehen und für mich machte das ein Eindruck wie eine Normalenform.

---

OK ;-)

Abgesehen davon, es geht hier doch um die Frage, ob

die Lösungsmenge von b) eine Ebene darstellt

und das habe ich hinreichend begründet.

Ds folgt einfach unmittelbar aus der Theorie

linearer Gleichungssysteme und ihrer Lösungsmengen.

---

Der Stützvektor ist doch wie du oben im Bild erkennen kannst (0/0/0).

Eine Null (oder 3 Nullen) braucht man doch nicht hinschreiben. Diese kann man weglassen da es ja nichts am Ergebnis ändert ob sie jetzt da stehen oder nicht.

x + 0 = 13    ist das gleiche wie x = 13

---

Interessante Bearbeitung deines Kommentars vor allem auch mit dem OK ;) haha

---

Was ist denn deiner Ansicht nach der Normalenvektor \(n\).

---

flinke Frage

Nach meinem jetzigen Wissenstand würde ich aufjedenfall sagen, dass

nicht der Normalenvektor ist, da das Ergebnis nicht 0 ist.

---

Und ich wollte mich nochmal entschuldigen dass ich falsch lag :'(

---

Da bin ich ganz deiner Meinung.

---

Und ich wollte mich nochmal entschuldigen dass ich falsch lag :'(

Da musst du dich nicht entschuldigen. Ich kenne niemanden,
der immer richtig liegt.

---

Multipliziere die Normalenform mal aus

$$\left( \overrightarrow x - \overrightarrow p \right) \cdot \overrightarrow n = 0 \newline \overrightarrow x \cdot \overrightarrow n - \overrightarrow p \cdot \overrightarrow n = 0 \newline \overrightarrow x \cdot \overrightarrow n = \overrightarrow p \cdot \overrightarrow n \newline \overrightarrow x \cdot \overrightarrow n = d$$

Wir sehen es handelt sich um eine nicht ganz ausmultiplizierte Normalenform. Da nur noch ein letzter Schritt zur Koordinatenform fehlt würde ich dieses als nicht ganz ausmultiplizierte Koordinatenform bezeichnen.

Answer 2

c)

Bastel dir die Ebene F aus der Geradengleichung für h und dem Normalenvektor von E als weiteren Richtungsvektor (Spannvektor) zusammen.

F: X = [2, 1, -1] + r·[1, -1, 0] + s·[2, -1, 2]

Bringe dieses zur Kontrolle dann noch in die Koordinatenform. Wir sehen das unsere Ebene zur angegebenen Koordinatenform passt und können uns entspannt zurücklehnen.