Einen Fixpunkt zeigen, Hilfsfunktion definieren

Question

Aufgabe: Ein Punkt x aus dem Definitionsbereich einer Funktion f heißt Fixpunkt, falls f(x) = x gilt.
Zeigen Sie, dass die Funktion f : R → R mit f(x) := sin x + x³ einen Fixpunkt hat.

In der Lösung der Aufgabe wird eine Hilfsfunktion g(x) = f(x) - x = sin x + x³  - x definiert. Weiter wird mit dem Zwischenwertsatz argumentiert, nähmlich g(-π) < 0 und g(π) > 0. Das ist für mich auch soweit verständlich.

Was ich nicht verstehe: wie kommt man auf die Hilfsfunktion g(x) = f(x) - x = sin x + x³ - x ? Wieso brauchen wir diese und wieso wird an die normale Funktion -x angehängt? Macht man das immer so oder hat das hier einen bestimmten Grund?

Vielen Dank.

Answer 1

Aloha :)

Wir sollen ein \(x\) finden, sodass \(f(x)=x\) gilt.

Zu diesem Zweck kannst du dir eine Hilfsfunktion \(g(x)\coloneqq f(x)-x\) definieren und deren Nullstellen untersuchen. Aus \(g(x)=0\) folgt dann nämlich \(f(x)=x\).

Die Definition solcher Hilfsgrößen ist ein gängiges Verfahren, weil man einen Vergleich gegen Null auf Basis von Vorzeichen sehr leicht führen kann.