Für welche Werte von a hat dieses System unendlich viele Lösungen?

Question

Aufgabe:

Mit einem reellen Parameter a sei das folgende lineare Gleichungssystem gegeben:

x + y + z = 1

-x + y = 0

-x + y + (a²-1)z = a-1

Für welche Werte von a hat dieses System unendlich viele Lösungen? Geben Sie diese Lösungen an.

Problem/Ansatz:

Damit das System unendlich viele Lösungen hat, muss am Ende auf alle Fälle 0 = 0 herauskommen

Ich habe probiert, das ganze mit dem Gauß Verfahren auf irgendetwas aufzulösen, aber entweder kommt sowas wie za² - z + 1 = a oder andere Wilden Dinge dabei heraus mit denen ich leider absolut garnichts anzufangen weiß. Dieses a²-1 und a-1 bringen mich so extrem aus dem Konzept, dass ich garnichts mehr kapiere

Könnte mir hier jemand auf die Sprünge helfen

Answer 1

za² - z + 1 = a ist doch OK (Habe es nicht nachgerechnet.)

Aber das hieße doch

z(a^2-1) = a-1

Und das hat unendlich viele Lösungen, wenn a^2-1 = 0 und a-1 = 0

gilt, also für a=1.

Und diese sind dann

( 0,5-0,5t ; 0,5-0,5t ; t ) für alle t∈ℝ.

Comments

ohne Scheiß jetzt? :D

Also kürze ich runter bis ich auf

z(a²-1) = a-1 komme, weiß im Hinterkopf, dass 0=0 herauskommen muss, da nur so die lineare Gleichung unendlich viele Lösungen hat

also überlege ich, wie ich da hinkommen... setze dementsprechend a=1

weil z(1²-1) = z(0) = 0, also 0 = 0 ist

und das ist die Lösung? Manchmal macht man sich selbst das Leben viel zu schwer

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a^2-1=0 gilt nicht nur für a=1, sondern auch für a=-1 (dann hat man allerdings nicht 0=0, sondern 0=-2 und somit gar keine Lösung).

Sträflich ist allerdings, die mögliche Faktorisierung a²-1=(a-1)(a+1) nicht zu sehen...

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Die bringt hier allerdings nix.

Answer 2

Ich würde sagen, für a = 1.

Comments

und wie kommst du darauf, kann man das mit dem Gauß Verfahren herausbekommen oder ist das eher eine Bauchgefühl Sache :D

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Siehe Antwort mathef a.a.O. auf dieser Seite.