Hallo liebes Forum, ich habe mal eine etwas andere Aufgabe...
Und zwar soll ich eine Belegarbeit zum ersten Hilbertschen Problem, aus seinem Vortrag, 23 ungelöste mathematische Probleme schreiben.
Dabei ist die Aufgabenstellung wie folgt:
Der Text soll in den unmittelbaren Kontext eingeordnet werden und die wesentlichen Punkte zusammengefasst werden.
Wer ist der Autor, wer die Adressaten?
Wo und wann ist der Artikel veröffentlicht, die Rede gehalten worden?
Was ist das Thema des Textes, welche Thesen vertritt der Autor, auf wen und was nimmt er Bezug, was sind seine wesentlichen Argumente?
Also die ersten beiden Fragen sind nicht schwer und brauchen nicht weiter beantwortet werden. Die letzte ist eindeutig die schwierigste, da hier der Inhalt der Quelle zu analysieren ist. Einige Abschnitte konnte ich für mich noch nicht richtig zuordnen und ich würde mich freuen, falls mir das Forum hier weiterhelfen könnte.^^
Thema des Textes ist gleichzeitig auch der Titel der Quelle, und zwar handelt es sich um Cantors Problem von der Mächtigkeit des Kontinuums. David Hilbert vertritt hier hauptsächlich die gewonnen Erkenntnisse Cantors und nimmt demzufolge nur Bezug auf seine Thesen?
Analyse:
(Hilbert)
Zwei Systeme, d. h. zwei Mengen von gewöhnlichen reellen Zahlen (oder Punkten) heißen nach CANTOR äquivalent oder von gleicher Mächtigkeit, wenn sie zueinander in eine derartige Beziehung gebracht werden können, daß einer jeden Zahl der einen Menge eine und nur eine bestimmte Zahl der anderen Menge entspricht. Die Untersuchungen von CANTOR über solche Punktmengen machen einen Satz sehr wahrscheinlich, dessen Beweis jedoch trotz eifrigster Bemühungen bisher niemandem gelungen ist; dieser Satz lautet:
These:
Es heißt eine unendliche Menge M abzählbar, falls es eine Bijektion f: ℕ → M gibt?
(Hilbert)
Jedes System von unendlich vielen reellen Zahlen, d. h. jede unendliche Zahlen- (oder Punkt)menge ist entweder der Menge der ganzen natürlichen Zahlen 1, 2, 3, ... oder der Menge sämtlicher reeller Zahlen und mithin dem Kontinuum, d. h. etwa den Punkten einer Strecke äquivalent; im Sinne der Äquivalenz gibt es hiernach nur zwei Zahlenmengen, die abzählbare Menge und das Kontinuum.
These:
Eine Menge lässt sich eindeutig zuordnen in abzählbar oder überabzählbar?
(Hilbert)
Aus diesem Satz würde zugleich folgen, daß das Kontinuum die nächste Mächtigkeit über die Mächtigkeit der abzählbaren Mengen hinaus bildet; der Beweis dieses Satzes würde mithin eine neue Brücke schlagen zwischen der abzählbaren Menge und dem Kontinuum.
Auch wieder eine These:
Also die Mächtigkeit der natürlichen Zahlen ist kleiner als die Mächtigkeit der reellen Zahlen oder |ℕ| < |ℝ| ?
(Hilbert)
Es sei noch eine andere sehr merkwürdige Behauptung CANTORS erwähnt, die mit dem genannten Satze in engstem Zusammenhange steht und die vielleicht den Schlüssel zum Beweis dieses Satzes liefert. Irgendein System von reellen Zahlen heißt geordnet, wenn von irgend zwei Zahlen des Systems festgesetzt ist, welches die frühere und welches die spätere sein soll, und dabei diese Festsetzung eine derartige ist, daß, wenn eine Zahl a früher als die Zahl b und b früher als c ist, so auch stets a früher als c erscheint. Die natürliche Anordnung der Zahlen eines Systems heiße diejenige, bei der die kleinere als die frühere, die größere als die spätere festgesetzt wird. Es gibt aber, wie leicht zu sehen ist, noch unendlich viele andere Arten, wie man Zahlen eines Systems ordnen kann.
Hiermit kann ich leider nichts richtig anfangen und würde mich sehr freuen falls ihr mir das genauer erläutern könntet. Hat es eventuell etwas mit den Ordnungszahlen zu tun?
(Hilbert)
Wenn wir eine bestimmte Ordnung der Zahlen ins Auge fassen und aus denselben irgendein besonderes System dieser Zahlen, ein sogenanntes Teilsystem oder eine Teilmenge, herausgreifen, so erscheint diese Teilmenge ebenfalls geordnet. CANTOR betrachtet nun eine besondere Art von geordneten Mengen, die er als wohlgeordnete Mengen bezeichnet und die dadurch charakterisiert sind, daß nicht nur in der Menge selbst, sondern auch in jeder Teilmenge eine früheste Zahl existiert. Das System der ganzen Zahlen 1, 2, 3, ... in dieser seiner natürlichen Ordnung ist offenbar eine wohlgeordnete Menge. Dagegen ist das System aller reellen Zahlen, d. h. das Kontinuum in seiner natürlichen Ordnung offenbar nicht wohlgeordnet. Denn, wenn wir als Teilmenge die Punkte einer endlichen Strecke mit Ausnahme des Anfangspunktes der Strecke ins Auge fassen, so besitzt diese Teilmenge jedenfalls kein frühestes Element. Es erhebt sich nun die Frage, ob sich die Gesamtheit aller Zahlen nicht in anderer Weise so ordnen läßt, daß jede Teilmenge ein frühestes Element hat, d. h., ob das Kontinuum auch als wohlgeordnete Menge aufgefaßt werden kann, was CANTOR bejahen zu müssen glaubt. Es erscheint mir höchst wünschenswert, einen direkten Beweis dieser merkwürdigen Behauptung von Cantor zu gewinnen, etwa durch wirkliche Angabe einer solchen Ordnung der Zahlen, bei welcher in jedem Teilsysteme eine früheste Zahl aufgewiesen werden kann.
These:
Hier geht er jetzt genauer darauf ein, das die natürlichen die ganzen und die rationalen Zahlen abzählbare Mengen sind und die reellen Zahlen nicht? Hilbert spricht hier von wohlgeordneten und nicht wohl geordneten Mengen?
Argument:
Ich denke er möchte hier auf das Diagonalverfahren 1 Argument Cantors eingehen und zeigen, das es die Möglichkeit gibt diese Mengen durchzunummerieren und dementsprechend "wohlzuordnen"? Das Beispiel mit der Strecke soll glaube ich Cantors Diagonalargument 2 ansprechen und zeigen das die reellen Zahlen nicht "wohl geordnet", also überabzählbar sind, da Cantor mit diesem Argument versucht hat, die reellen zahlen zu ordnen und hilbert selbst sagt, Cantor denkt dies bejahen zu müssen (würde schon stark dafür sprechen)? Oder wird hier eher Bezug auf die allgemeine Kontinuumshypothese mit ihrer Potenzmenge genommen?
Vielen lieben Dank schon fürs durchlesen! Bin sehr gespannt auf eure Hilfe.^^
