Integralrechnung; die Flächeninhaltsfunktion der Normalparabel

Question

Aufgabe:

1) Gesucht ist die Flächeninhaltsfunktion A0(x) zur unteren Grenze 0 für die quadratische Randfunktion f(x)=1/3x^2.

2) Wie groß sind die Intervalle der Flächen wischen dem Graphen von f aus 1) und der x-Achse über den Intervallen [0;1] und [0;2]?

3) Wie groß ist der Inhalt der Fläche zwischen dem Graphen von f und der x-Achse über dem Intervall [1;2]?

Problem/Ansatz:

Ich verstehe es nicht und bräuchte eine Erklärung+Rechenwege.

Answer 1

1)    Integral von 0 bis t über x^2/3 dx. Das ist  A0(x)=x^3/3

2) Wie groß sind die Intervalle der Flächen

besser wohl : Wie groß sind die Inhalte der Flächen

Das wäre Integral von 0 bis 1 über x^2/3 dx. Das wäre 1/3.

Comments

Ja, aber was soll ich tun?

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Kennst du noch kein Integral ?

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Ich verstehe nichts….

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Weißt du wie man ein Integral ausrechnet ?

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Nein, ich weiß es nicht

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Integrale kann man z.B. benutzen um Flächen zwischen

einem Intervall auf der x-Achse und einem Funktionsgraphen

auszurechnen.

Das erste bei 2. wäre ja

Das  Integral von 0 bis 1 über x^2/3 dx.

Schreibt man so

\(  \int \limits_0^1  \frac{1}{3} x^2 dx\)

Dazu nimmst du eine Funktion, deren

Ableitung \(  \frac{1}{3} x^2 \) ist, sog. Stammfunktion dafür.

Und in die setzt du die obere Grenze ein und die untere

und subtrahierst die beiden:

Stammfunktion ist \(  \frac{1}{9} x^3 \). Also rechne

\(  \frac{1}{9} \cdot 1^3 - \frac{1}{9} \cdot 0^3\).

Das gibt \(  \frac{1}{9} \). Das ist dann der Wert des

Integrals und damit das gesuchte Flächenmaß.

Answer 2

3) Wie groß ist der Inhalt der Fläche zwischen dem Graphen von \(f(x)=\frac{1}{3}*x^2\) und der x-Achse über dem Intervall [1;2]?

\(A= \int\limits_{1}^{2}\frac{1}{3}*x^2*dx=[\frac{x^3}{9}]=[\frac{2^3}{9}]-[\frac{1^3}{9}]=[\frac{8}{9}]-[\frac{1}{9}]=\frac{7}{9} \)