Aloha :)
Das Additionstheorem für die Sinus-Funktion liefert:$$x(t)=A\sin(\omega_0t+\phi)=\red{A\sin\phi}\cos\omega_0t+\green{A\cos\phi}\sin\omega_0t$$
Koeffizientenvergleich mit der Lösung liefert weiter:$$\red{x_0=A\sin\phi}\quad;\quad\green{\frac{v_0}{\omega_0}=A\cos\phi}$$
Daraus folgt für \(A\) und \(\phi\):$$\tan\phi=\frac{\sin\phi}{\cos\phi}=\frac{A\sin\phi}{A\cos\phi}=\frac{x_0}{\frac{v_0}{\omega_0}}=\frac{x_0\omega_0}{v_0}\implies\phi=\arctan\left(\frac{x_0\omega_0}{v_0}\right)$$$$x_0^2+\frac{v_0^2}{\omega_0^2}=A^2\sin^2\phi+A^2\cos^2\phi=A^2\implies A=\pm\sqrt{x_0^2+\frac{v_0^2}{\omega_0^2}}$$
Das \(A\) muss nicht zwingend positiv sein. Wenn ihr das in der Vorlesung als positiv vereinbart habt, musst du ggf. zum \(\phi\) noch den Wert \(\pi\) addieren, denn:$$\cos(\phi+\pi)=-\cos(\phi)\quad;\quad\sin(\phi+\pi)=-\sin(\phi)$$
Per Definition ist \(\omega_0\ge0\). Daher gilt \(\phi\ge0\), wenn \(x_0\) und \(v_0\) gleiches Vorzeichen haben, und \(\phi\le0\), wenn sie unterschiedliche Vorzeichen haben.
