Aloha :)
Leider zeigst du nicht die Rechnung, auf die du dich beziehst. Ohne den genauen Zusammenhang zu kennen, lässt sich nicht genau sagen, warum ein Rechenschritt sinnvoll ist oder nicht. Die Rechnung könnte so aussehen:$$\mu=\sum\limits_{k=0}^n k\cdot p(X=k)=\sum\limits_{k=0}^n k\cdot\binom{n}{k}p^{k}(1-p)^{n-k}$$
Der erste Summand für \(k=0\) ist Null, sodass wir die Summe bei \(1\) anfangen können:$$\mu=\sum\limits_{k=1}^n k\pink{\binom{n}{k}}p^{k}(1-p)^{n-k}=\sum\limits_{k=1}^n k\pink{\frac nk\binom{n-1}{k-1}}p^{k}(1-p)^{n-k}=\sum\limits_{k=1}^n n\binom{n-1}{k-1}p^{k}(1-p)^{n-k}$$
Der Faktor \(n\) unter des Summe ist konstant, sodass wir ihn vorziehen können:$$\mu=n\sum\limits_{k=1}^n\binom{n-1}{k-1}p^{k}(1-p)^{n-k}$$
Nun führen wir eine Indexverschiebung durch, lassen also die Summation nicht bei \(k=1\) beginnen, sondern bei \(k=0\) und erhöhen dafür alle \(k\) unter der Summe um \(1\):$$\mu=n\sum\limits_{k=\pink0}^{\pink{n-1}}\binom{n-1}{(\pink{k+1})-1}p^{\pink{k+1}}(1-p)^{n-(\pink{k+1})}=n\sum\limits_{k=0}^{n-1}\binom{n-1}{k}p^k\cdot p\cdot(1-p)^{(n-1)-k}$$
Ziehen wir den konstanten Faktor \(p\) noch vor die Summe, können wir auf die verbilebene Summe den binomischen Lehrsatz anwenden:$$\mu=np\sum\limits_{k=0}^{n-1}\binom{n-1}{k}p^k\cdot(1-p)^{(n-1)-k}=np\cdot\underbrace{(\,p+(1-p)\,)^{n-1}}_{=1}=np$$
