Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass die gezogene Kugel weiß ist?

Question

Aufgabe:

In einem Behälter A befinden sich drei weiße (W) und drei schwarze (S)
Kugeln. Der Behälter B enthält drei weiße und eine schwarze Kugeln. Eine zufällige Kugel
wird aus Behälter A zum Behälter B übergeben. Danach wird eine Kugel aus B gezogen.

a) Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass die gezogene Kugel weiß ist?

b) Gegeben die gezogene Kugel ist weiß, wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass die
übergebene Kugel weiß war?

Problem/Ansatz:

A (W)= 1/2

A (S)= 1/2

B (W)= 3/5

B(S)=2/5

Soll ich hier multipliziere und addieren?

Answer 1

Aloha :)

Vor dem Experiment haben wir folgende Situation:$$A=\{W,W,W,S,S,S\}\quad;\quad B=\{w,w,w,s\}$$

Eine beliebige Kugel wird \(A\) entnommen und \(B\) hinzugefügt. Danach haben wir 2 mögliche Konfigurationen von \(B\), die beide mit der Wahrscheinlichkeit \(\frac12\) auftreten, weil in \(A\) genauso viele weiße wie schwarze Kugeln enthalten sind:$$B_1=\{w,w,w,s,W\}\;;\;p_1=\frac12\quad;\quad B_2=\{w,w,w,s,S\}\;;\;p_2=\frac12$$

a) Es wird eine Kugel aus \(B_?\) gezogen. Die Wahrscheinlichkeit, dass diese Kugel weiß ist, kannst du so bestimmen:$$p(w)=\underbrace{\frac12\cdot\frac{4}{5}}_{\text{Fall \(B_1\) liegt vor}}+\underbrace{\frac12\cdot\frac{3}{5}}_{\text{Fall \(B_2\) liegt vor}}=\frac{4}{10}+\frac{3}{10}=\frac{7}{10}=70\,\%$$

Nun ist die gezogene Kugel weiß. Die Wahrscheinlichkeit dafür haben wir gerade bestimmt. Die Wahrscheinlichkeit, dass diese Kugel aus \(A\) stammt ist dann:$$\frac{p(\text{Kugel ist W})}{p(w)}=\frac{\frac12\cdot\frac{1}{5}}{\frac{7}{10}}=\frac17\approx14,29\,\%$$

Answer 2

a) Zu 50% zieht man aus A eine weiße Kugel. Dann beträgt die Wahrscheinlichkeit, eine weiße Kugel aus B zu ziehen 4/5.
Zu 50% zieht man aus A eine schwarze Kugel. Dann beträgt die Wahrscheinlichkeit, eine weiße Kugel aus B zu ziehen 3/5.

R: 1/2 * 4/5 + 1/2 * 3/5 = 70%.

b) Zunächst einmal musste eine weiße Kugel aus A gezogen werden und dann muss sie noch aus B gezogen werden.

R: 1/2 * 1/4 = 12,5%