Untersuchung auf gleichmäßige Konvergenz und punktweisige Konvergenz

Question

Aufgabe:

\( s_{n}(x):=x^{n}\left(1-x^{n}\right), x \in[0,1] \).

Konvergiert die Folge punktweise gegen eine Funktion s: (0,1) - R? Geben sie in diesem Fall die Funktion s an.

Untersuchen sie die Folge auf gleichmäßige Konvergenz im Intervall (0,1)

Answer 1

Für x∈(0,1) geht x^n für n gegen ∞ gegen 0.

Also konvergiert es punktweise gegen die Einschränkung der

0-Funktion auf (0,1).

Answer 2

Wir betrachten die Supremumsnorm$$\|f_n\|_{\infty}=\sup_{x\in (0,1)}|f_n(x)|$$Es ist $$\|f_n\| \geq |f_n(2^{-1/n})|=1/4$$

Also konvergiert \(f_n\) nicht gleichmäßig gegen die Nullfunktion.