Wurzeln von komplexen Zahlen

Question

Uns wurde die Aufgabe gestellt sämtliche Lösungen folgender beider Komplexen Zahlen zu finden:

Wie es mit komplexen Zahlen der Form z=a+b*i (a und b ungleich 0) funktioniert habe ich verstanden, jedoch komme ich bei diesen Zahlen einfach nicht weiter. Anbei meine Lösungsversuche bzw. Probleme:

Könnt ihr mir vielleicht weiterhelfen?

Answer 1

z^6 = - 2·i

z^6 = 2·e^(i·(3/2·pi + k·2·pi))

z = ⁶√2·e^(i·(3/12·pi + k·2/6·pi))

Jetzt nur für k Werte von 0 bis 5 einsetzen

z1 = ⁶√2·e^(i·3/12·pi)

z2 = ⁶√2·e^(i·7/12·pi)

z3 = ⁶√2·e^(i·11/12·pi)

z4 = ⁶√2·e^(i·15/12·pi)

z5 = ⁶√2·e^(i·19/12·pi)

z6 = ⁶√2·e^(i·23/12·pi)

Comments

Vielen Dank schonmal für die Antwort!
Aber wie hast du es geschafft mit a=0 von der kartesischen in die eulersche Form zu kommen?

Und muss ich bei der zweiten Aufgabe dann einfach ganz reell rechnen?
Nach dem Motto: z^3=3 => z=3sqrt(3)

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Stell dir die Zahl - 2i im Koordinatensystem vor. Kannst du dann den Winken im Kopf zur x-Achse bestimmen?

Es gibt einige Winkel die man so kennen sollte das ganz besonders für rein komplexe Zahlen.

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Ach der Winkel ist 3pi/2=(3/2)*pi weil ich mich sozusagen auf der negativen imaginären Achse befinde?

Und wie würde man die zweite aufgabe angehen können?

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z^3 = 3

z^3 = 3·e^(i·(0·pi + k·2·pi))

z = ³√3·e^(i·(0/3·pi + k·2/3·pi))

Nun für k Werte von 0 bis 2 einsetzen

z1 = ³√3·e^(i·0·pi)

z2 = ³√3·e^(i·2/3·pi)

z3 = ³√3·e^(i·4/3·pi)

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Jetzt hab ich es verstanden, vielen Dank!