In welche Höhe kommt sie zu liegen?

Question

Aufgabe:

Gegeben sind zwei windschiefe Geraden \( g \) und \( h \). Eine horizontale Transversale Länge 5 ist einzuschieben. In welche Höhe kommt sie zu liegen?
a) \( g: \vec{r}=\left(\begin{array}{r}2 \\ -1 \\ 0\end{array}\right)+t\left(\begin{array}{r}1 \\ -1 \\ 2\end{array}\right) \)
\( h: \vec{r}=\left(\begin{array}{r}1 \\ 0 \\ -2\end{array}\right)+t\left(\begin{array}{r}-2 \\ 3 \\ 2\end{array}\right) \)

Problem/Ansatz:

Hallo Leute, weiß jemand wie man hier vorgeht? Denn ich weiß nicht man wie anfangen :')

Ich bedanke mich vielmals in voraus für die Unterstützung

Answer 1

Meine Lösungsidee:

Bestimme r1-r2 so, dass die z-Koordinate Null und der Betrag 5 ist.

Answer 2

Hallo,

die beiden Geraden sind nicht windschief zueinander, sondern schneiden sich im Anbindungspunkt der Gerade h.

Von diesem Punkt aus gilt es zwei weitere Punkte zu finden, die sich auf den Geraden befinden und den Abstand 5 voneinander haben.

Ich nenne den Schnittpunkt S, die gesuchten Punkte P und Q.

\(S=\begin{pmatrix} 1\\0\\-2 \end{pmatrix}\\ P=\begin{pmatrix} 1\\0\\-2 \end{pmatrix}+s\cdot \begin{pmatrix} 1\\-1\\2 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1+s\\-s\\-2+2s \end{pmatrix}\\ Q=\begin{pmatrix} 1\\0\\-2 \end{pmatrix}+t\cdot \begin{pmatrix} -2\\3\\2 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1-2t\\3t\\-2+2t \end{pmatrix}\)

Da es sich um eine horizontale Verbindung handelt, müssen die z-Koordinaten von P und Q gleich sein:

\(-2+2s=-2+2t\Rightarrow s = t\)

Der Verbindungsvektor ist \(\overrightarrow{PQ}=\begin{pmatrix} 1-2t-(1+s)\\3t+s\\-2+2t-(-2+2s) \end{pmatrix}\)

bzw. \(\overrightarrow{PQ}=\begin{pmatrix} 1-2t-(1+t)\\3t+t\\-2+2t-(-2+2t) \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -3t\\4t\\0 \end{pmatrix}\\\)

Seine Länge soll 5 sein.

\(9t^2+16t^2=25\Rightarrow \quad t=\pm1=s\)

mit t = s = 1 ergibt sich eine Höhe von 0, und mit t = s = -1 eine Höhe von -4.

Gruß, Silvia