Stochastik Binomialverteilung. P(höchstens dreimal eine Primzahl zu werfen) =?

Question

Ich brache  hilfe:) danke im Voraus

Ein idealer Würfel wird zehnmal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit
a) genau fünfmal eine Primzahl zu werfen?
b) mindestens achtmal eine Primzahl zu werfen?
c) höchstens dreimal eine Primzahl zu werfen?

Answer 1

Nun, die auf einem Würfel befindlichen Primzahlen sind die 2 , die 3 und die 5.

Die Wahrscheinlichkeit, bei einmaligem Würfeln eine Primzahl zu würfeln, beträgt also 3 / 6 = 0,5

Daher:

a)

n = 10 Versuche, k = 5 Erfolge, p = 0,5  also

P ("genau 5 mal Primzahl")

= B ( n=10, k=5 , p=0,5 ) = ( 10 über 5 ) * 0,5 ⁵ * ( 1 - 0,5 ) ⁵ ≈ 0,246 = 24,6 %

b)

n = 10 Versuche,  k = 8 oder 9 oder 10 Erfolge, p=0,5 , also:

P ( "mindestens 8 mal Primzahl")

= P ( "genau 8 mal Primzahl") + P ( "genau 9 mal Primzahl") + P ( "genau 10 mal Primzahl")

= B ( n=10, k=8 , p=0,5 ) + B ( n=10, k=9 , p=0,5 ) + B ( n=10, k=10 , p=0,5 )

= ( 10 über 8 ) * 0,5 ⁸ * ( 1 - 0,5 ) ² + ( 10 über 9 ) * 0,5 ⁹ * ( 1 - 0,5 ) ¹ + ( 10 über 10 ) * 0,5 ¹⁰ * ( 1 - 0,5 ) ⁰

= ( ( 10 über 8 ) + ( 10 über 9 )  + ( 10 über 10 ) ) * 0,5 ¹⁰

= ( 45 + 10 + 1 ) * 0,5 ¹⁰ ≈ 0,055 = 5,5 % 

c)

n = 10 Versuche,  k = 0 oder k = 1 oder k = 2 oder  k = 3 Erfolge, p=0,5 , also:

P ( "höchstens 3 mal Primzahl")

= P ( "genau 0 mal Primzahl") + P ( "genau 1 mal Primzahl") + P ( "genau 2 mal Primzahl") + P ( "genau 3 mal Primzahl")

= B ( n=10, k=0 , p=0,5 ) + B ( n=10, k=1 , p=0,5 ) + B ( n=10, k=2 , p=0,5 ) + B ( n=10, k=3 , p=0,5 )

= ( 10 über 0 ) * 0,5 ⁰ * ( 1 - 0,5 ) ¹⁰ + ( 10 über 1 ) * 0,5 ¹ * ( 1 - 0,5 ) ⁹ + ( 10 über 2 ) * 0,5 ² * ( 1 - 0,5 ) ⁸ + ( 10 über 3 ) * 0,5 ³ * ( 1 - 0,5 ) ⁷

= ( ( 10 über 0 ) + ( 10 über 1 )  + ( 10 über 2 ) + ( 10 über 3 ) ) * 0,5 ¹⁰

( 1 + 10 + 45 + 120 ) * 0,5 ¹⁰ ≈ 0,172 = 17,2 %

Comments

Die Primzahlen sind ja 2,3 & 5, aber mit diesen Zahlen haben wir beim Berechnen der Aufgabe nichts zu tun oder?

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Mit den Primzahlen selber hat man bei dieser Aufgabe nichts zu tun, sie dienen nur zur Bestimmung der Erfolgswahrscheinlichkeit. Es ist eben so, dass auf 3 der 6 Flächen eines  Würfels Primzahlen stehen, also ist die Erfolgswahrscheinlichkeit, bei einmaligem Würfeln eine Primzahl zu werfen p = 3 / 6 = 0,5

Welche der Primzahlen geworfen werden ist dabei egal und spielt auch für die Berechznung keine rolle. Wichtig ist nur: Primzahl ja oder nein

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Vielen lieben Dank für die ausführlichen Erklärungen!! :) Lg