Mengenumformung beweisen ohne Wahrheitstabelle

Question

Aufgabe:

Es seien $A, B, C$ Teilmengen einer Menge $Z$. Zeigen Sie:

1. $A-(B \cup C)=(A-B) \cap(A-C)$
2. $A-(B \cap C)=(A-B) \cup(A-C)$,
3. $(A \cup B)-(A \cap B)=(A-(A \cap B)) \cup(B-(A \cap B))$.

Problem/Ansatz:

Hi kann mir wer erklären wie ich generell sowas beweisen kann? Vor allem bei 2. (A-B) \cup(A-C) \) rauskommt? Wir sollen das Mengentheoretisch beweisen und nicht mit Wahrheitstebellen.

Danke!

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LaTeX-Tipp:

A\setminus B

$A\setminus B$

Answer 1

Hallo

man beschreibt ein Element der linken Seite und zeigt, das es Element der rechten Seite ist

das minus soll wohl "ohne" \ sein?

also Anfang x∈B∪C->x∈B und x∈C ; x∈A\(B∪C)-> x∈A, x∉B,x∉C

jetzt die rechte Seite

Gruß lul

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Danke dir :)

Answer 2

Es bedeute $\overline{A}$ die Komplementmenge $Z-A$.

Dann gilt für Mengen $A,B\subseteq Z:\; A-B=A\cap\overline{B}$,

was du sicher leicht überprüfen kannst.

Ferner gelten die DeMorganschen Regeln:

$\overline{A\cup B}=\overline{A}\cap \overline{B}$ und $\overline{A\cap B}=\overline{A}\cup \overline{B}$

Nun als Beispiel zu 1.:

$A-(B\cup C)=A\cap\overline{(B\cup C)}=$

Nun DeMorgan:

$=A\cap(\overline{B}\cap\overline{C})=A\cap A\cap\overline{B}\cap\overline{C}=$

$(A\cap\overline{B})\cap(A\cap\overline{C})=(A-B)\cap(A-C)$

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Dankeschön :)