Unabhängigkeit Inzidenzaxiome

Question

Aufgabe:

Finden Sie zwei Modelle, in denen für die 3 Inzidenzaxiome folgendes gilt:

a) I₂ ist unabhängig von I₁ und I₃

b) I₃ ist unabhängig vin I₁ und I₂ 

Problem/Ansatz:

a) I₂ besagt, dass jede Gerade mindestens zwei Punkte enthält

es ist somit von I₃ unabhängig, da dieses Axiom drei kollineare Punkte zum Gegenstand hat, welche nicht auf ein und derselben Geraden liegen. es ist von I₁ unabhängig, da dieses besagt, dass es zu 2 verschiedenen Punkten genau eine Gerade gibt, die diese Punkte enthält und I₂ hat diese mindestens zwei Punkte schon eingeschlossen.

wie würde dazu dann ein Modell aussehen?

b) I₃ besagt dass es mind. drei verschiedene Punkte gibt,, die nicht ein und derselben Gerade angehören. die Unabhängigkeit von I₂ und I₁ ist hierbei recht naheliegend, da wir in I₁ und I₂ nur immer direkte Geraden betrachten, die durch mind zwei Punkte gehen

ein Modell hierfür wären drei unterschiedliche im Raum stehende nichtverbundene Punkte oder?

Bin mir bei den Modellen echt unsicher. Vielleicht kann mir jemand helfen :)

Danke

Answer 1

Punkte: {1, 2, 3}

Geraden: ∅

Dann gelten I₂ und I₃ aber nicht I₁.