Welche Implikationen (d. h. (a) ⇒ (b) oder (b) ⇒ (a)) sind zwischen den folgenden Aussagen gültig?

Question

Aufgabe:

Es sei x, y ∈ R^n,
Welche Implikationen (d. h. (a) ⇒ (b) oder (b) ⇒ (a)) sind zwischen den folgenden Aussagen gültig? Wenn du behauptest, dass eine Implikation wahr ist, dann musst du sie beweisen. Wenn du überzeugt bist, dass eine Aussage falsch ist, dann gib ein Gegenbeispiel an.
(a) <x, y> = 0,
(b) Für jedes λ ∈ R folgt, dass ||x|| ≤ ||x + λy||

Answer 1

(a) ==> (b) :

Denn es ist    ||x + λy|| = √( <x + λy,x + λy>)

= √( <x,x> + 2λ<x,y> + λ^2<y,y>)   und mit <x,y> = 0

=  √( <x,x>  + λ^2<y,y>)

≥  √( <x,x>)  ) =  ||x|| .

Comments

Hey vielen Dank,

hast du auch noch ein Gegenbeispiel für (b) ⇒ (a)?

Man muss ja nur ein λ finden, für welches die Aussage nicht mehr gültig ist.

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Oder ist (b) ⇒ (a) ach wahr, weil ||x|| ≤ ||x + λy|| gilt ja nur wenn x und y senkrecht sind, also <x,y> = 0

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b) ist wohl auch wahr, aber bisher ist mir kein

Beweis gelungen.

Answer 2

Zu: Aus b folgt a (Ich schreibe s statt lambda und x*y für das Skalarprodukt):

Wir haben ja

$$\|x+sy\|^2=\|x\|^2+s^2\|y\|^2+2s(x*y)$$

Wenn nun \(x*y \neq 0\) wäre, dann setze dort \(s:=-\frac{(x*y)}{\|y\|^2}\) und erhalte einen Widerspruch zur Voraussetzung von b

Comments

Vielen Dank, bin auf einen Widerspruch zu b gekommen, war dann doch nicht so schwer...

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Sorry, dass ich mich noch mal melde, aber mir ist doch nicht ganz klar geworden, woher \(s:=-\frac{(x*y)}{\|y\|^2}\) kommt

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Im Prinzip braucht das für den Beweis nicht begründet werden, der Erfolg heiligt die Mittel.

Allerdings ist die Definition dieses s nicht vom Himmel gefallen: Wir wollen ja zum Widerspruch kommen, indem wir den Wert der rechten Seite (oben) unter \(\|x\|^2\) drücken. Nun ist diese rechte Seite eine Parabel in der Variablen s. Das gewählte s ist gerade die Koordinate des Minimums.

Answer 3

Die einzige Gerade, die genau einen Punkt mit einem Kreis gemeinsam hat, ist die Tangente und die steht senkrecht auf dem Berührradius.