produkt von ((2i+2)/6i) von i=1 bis n

Question

\( \prod_{i=1}^{n}{((2i+2)/6i)} \)

Kann mir jemand mit dieser Aufgabe helfen?

Die Lösung lautet (n+1)/3^n

ich weiß aber nicht, wie ich drauf kommen könnte

es wäre sehr sehr lieb, wenn mir jemand die Vorgehensweise zeigen bzw. erklären könnte

Danke im Voraus! :)

Comments

Schreib dir die ersten Glieder auf.

Answer 1

Schreib erstmal den Term über den multipliziert wird um.

(2·i + 2)/(6·i) = 1/3·(i + 1)/i

Schauen wir uns das also mal im Produkt an.

∏ (i = 1 bis n) (1/3·(i + 1)/i)

= ∏ (i = 1 bis n) (1/3) * ∏ (i = 1 bis n) (i + 1)/i)

= (1/3)^n * 2/1 * 3/2 * 4/3 * ... * n/(n - 1) * (n + 1)/n

Kürzen

= (1/3)^n * 1/1 * 1/1 * 1/1 * ... * 1/1 * (n + 1)/1 = (n + 1) / 3^n

Ist das so klar?

Comments

(2·i + 2)/(6·i) = 1/3·(i + 1)/i

warum wird es nicht zu 1/3 (i+2)/i?

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= (1/3)n * 2/1 * 3/2 * 4/3 * ... * n/(n - 1) * (n + 1)/n
Kürzen

= (1/3)n * 1/1 * 1/1 * 4/1 * ... * 1/1 * (n + 1)/1 = (n + 1) / 3n

also das wir alle Zahlen von 1 bis n für i einsetzen ist mir klar, also 1, 2, 3, 4, usw.

ich verstehe den "Kürzen" teil nicht

wie wird hier gekürzt?

Danke sehr schonmal!

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Kürzen heißt Zähler und Nenner eines Bruches durch die gleiche Zahl zu teilen. Eine Summe wird durch eine Zahl geteilt, indem jeder Summan durch die Zahl geteilt wird.

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wie wird hier gekürzt?

Gleiche Faktoren in Zähler und Nenner können gekürzt werden. Also die beiden 2en, 3en, 4en., (n-1)en und die beiden n's. Dann bleiben nur noch (n + 1) und ein Haufen Einsen, die ja keine Rolle spielen.

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achso also z.B. bei 2/1 * 3/2 * 4/3 wurden 3 und 3 gekürzt, 2 und 2, und 4 erst dann mit der 4 von 5/4...verstehe ich das richtig?

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ich glaube ich verstehe es jetzt

aber dann heißst es hier

= (1/3)n * 1/1 * 1/1 * 4/1 * ... * 1/1 * (n + 1)/1 = (n + 1) / 3n

auch 1/1 statt 4/1, oder? (nachdem gekürzt wird, was wir hier aufgrund der "..." Schreibweise noch nicht sehen

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ich wollte noch schreiben dass ich nicht weiß,

* n/(n - 1) * (n + 1)/n

woher der " n/(n - 1)" Teil kommt

aber das ist ja einfach die Zahl, die vor (n+1) / n kommen würde...

ich glaube ich habe es verstanden ich danke Ihnen

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auch 1/1 statt 4/1, oder? (nachdem gekürzt wird, was wir hier aufgrund der "..." Schreibweise noch nicht sehen

Genau. In meiner Antwort oben hatte ich das schon korrigiert.

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aber das ist ja einfach die Zahl, die vor (n+1) / n kommen würde...

Genau. Das hatte ich noch mitgenommen, dass du siehst das man alle Faktoren von 2 bis n im Grunde kürzt.

Answer 2

$$\prod_{i=1}^n\frac{1+i}{3i}=\frac{1}{3^n}\prod_{i=1}^n\frac{1+i}{i}=\frac{1}{3^n}\frac{\prod_{i=1}^n (i+1)}{\prod_{i=1}^n i}=\frac{1}{3^n}\frac{(n+1)!}{n!}=(n+1)/3^n$$

Comments

Können Sie mir vielleicht erklären, warum man hier Fakultät anwenden muss?

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\(\prod_{i=1}^n (1+i)=2\cdot 3\cdots (n+1)=1\cdot 2\cdot 3\cdots (n+1)=(n+1)!\).

Entsprechend im Nenner.

Können Sie mir vielleicht erklären, warum man hier Fakultät anwenden muss?

Ds muss man nicht, aber man kann.

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Können Sie mir vielleicht erklären, warum man hier Fakultät anwenden muss?

Das macht man, um meine Schreibweise auf Realschulniveau mit dem ... zu vermeiden.