Aufgabe:
Hallo, wie deutet ihr den folgenden Satz?
“Eine Matrix A bildet einen Vektor U auf einen Vektor V ab“
Ich hätte das so gedeutet: A•U=V
Problem/Ansatz:
Laut der Lösung eines Beispiels, ist hier jedoch A•V=U gefragt.
Was ist hier jetzt genau richtig?
Hier ist der Ausschnitt der Lösung:
Text erkannt:
Gegeben seien die zwei Basen \( \tilde{\mathcal{B}}, \mathcal{B} \) des \( \mathbb{R}^{3} \) :
\( \tilde{\mathcal{B}}=\left\{\left[\begin{array}{c} 1 \\ -1 \\ 2 \end{array}\right],\left[\begin{array}{l} 2 \\ 3 \\ 7 \end{array}\right],\left[\begin{array}{l} 2 \\ 3 \\ 6 \end{array}\right]\right\}, \quad \mathcal{B}=\left\{\left[\begin{array}{l} 1 \\ 2 \\ 2 \end{array}\right],\left[\begin{array}{c} -1 \\ 3 \\ 3 \end{array}\right],\left[\begin{array}{c} -2 \\ 7 \\ 6 \end{array}\right]\right\} \text {. } \)
7.2a) Finden Sie die Basiswechselmatrix \( S \), welche Koordinaten bezüglich der Basis \( \bar{B} \) auf die zugehörigen Koordinaten bezüglich der Basis \( \mathcal{B} \) abbildet.
Hinweis: Erinnern Sie sich an die Tatsache, dass die Spalten der Basiswechselmatrix die Koordinaten der "alten Basis" \( \tilde{\mathcal{B}} \) bezüglich der "neuen Basis" \( \mathcal{B} \) enthalten. Hier müssen Sie lineare Gleichungssysteme lösen, um diese Koordinaten zu bestimmen.
Lösung: Wir definieren zuerst die beiden Matrizen \( B, \tilde{B} \), in deren Spalten die Basisvektoren von \( \mathcal{B}, \tilde{\mathcal{B}} \) stehen.
Dann folgen wir der Definition der Basiswechselmatrix \( S \), in welcher \( S \) durch das Gleichungssystem
\( \tilde{b}^{j}=\sum \limits_{i=1}^{3} S_{i, j} b^{i} \)
bestimmt ist. Wir schreiben (7.2.1) in Matrixnotation:
\( B S=\tilde{B} . \)
