Lösen von LGS über komplexen Zahlen

Question

Aufgabe:

Lösen Sie das folgende lineare Gleichungssystem über \(\mathbb{C}\):

\((2−i)z_1 + 2iz_2 = i \)
\((1−4i)z_1+ 2iz_2 = 0\)

Geben Sie die Lösungen in arithmetischer Darstellung an.

Problem/Ansatz:

Darf ich hier in einem ersten Schritt Zeile 1 mit \( \frac{1}{2-i} \) und Zeile 2 mit \( \frac{1}{1-4i} \) multiplizieren, um dann per Gauß-Verfahren das LGS zu lösen? Ließe sich das LGS ggf. auch effizienter lösen? ich dachte erst an Umstellen nach dem zweiten Summanden und dann gleichsetzen, um \(z_1\) zu ermitteln, aber auch das scheint mir keinen sonderlichen Vorteil zu bringen.

Answer 1

Ich hielte es für sinnvoller

1.Gleichung minus 2. zu rechnen, dann hast du

\((2−i)z_1- (1−4i)z_1+ 2iz_2-2iz_2 = i \)

<=> \((1+3i)z_1= i \)

also   \( z_1=\frac{i}{1+3i}= \frac{3}{10}+\frac{1}{10}i\)

Dann einsetzen in die 2. gibt

\((1−4i)\cdot( \frac{3}{10}+\frac{1}{10}i\))+ 2iz_2 = 0\)

\( \frac{7}{10}-\frac{11}{10}i+ 2iz_2 = 0\)

\( \frac{7}{10}-\frac{11}{10}i = - 2iz_2 \)

\( \frac{11}{20}+\frac{7}{20}i = z_2 \)

Comments

ja, das macht natürlich Sinn. danke

meine Frage bezüglich der Multiplikation bleibt aber dennoch bestehen. einfach um einen allgemeingültigen Lösungsweg parat zu haben

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Wird dann aber rechnerisch aufwändig.

Aber ist richtig. Probier einfach mal.