Bestimme für jede der folgendenen Relationen ob sie reflexiv, symmetrisch oder transitiv ist

Question

Aufgabe

Bestimme für jede der folgendenen Relationen auf \( \{a, b, c, d\} \), ob sie reflexiv, symmetrisch oder transitiv ist. Falls eine Eigenschaft nicht erfüllt ist, füge jeweils möglichst wenige Elemente hinzu, bis die Eigenschaft ( symmetrisch, transitiv & symmetrisch) erfüllt ist:
1. \( R=\{(b, c),(c, b),(b, d),(d, b)\} \);
2. \( S=\{(a, a),(a, b),(a, c),(c, b)\} \).

Problem/Ansatz:

Danke im Voraus

Answer 1

Damit eine Relation \(T\) über einer Menge \(M\) reflexiv ist, muss

        \((m,m) \in T\)

für jedes \(m\in M\) sein.

Damit eine Relation \(T\) über einer Menge \(M\) symmetrisch ist, darf es keine \(m,n\in M\) geben, so dass

      \((m,n) \in T\) aber \((n,m)\notin T\)

ist.

Damit eine Relation \(T\) über einer Menge \(M\) transitiv ist, muss für alle \(m,n,o\in M\) mit \((m,n)\in T\) und \((n,o)\in T\) gelten, dass auch

      \((m,o) \in T\)

ist.

Welche dieser Definitionen bereitet dir Schwierigkeiten?

Comments

Nach der Definition bekomme ich:

Bei 1) R ist nicht reflexiv. R ist symmetrisch. R ist nicht transitiv

Bei 2) R ist weder reflexiv noch symmetrisch. R ist transitiv.

Würde das so stimmen oder habe ich falsch interpretiert?

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Das stimmt soweit.

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Ich ergänze so, damit die Eigenschaften erfüllt werden.

Bei 1) Damit R reflexiv wird gilt \( R=\{(a, a),(b, b),(c, c),(d, d),(b, c),(c, b),(b, d),(d, b)\} \);

Damit R transitiv wird gilt \( R=\{(c, d),(d, c),(b, c),(c, b),(b, d),(d, b)\} \);

Bei 2) Damit S reflexiv wird gilt \( S=\{(b, b),(c, c),(d, d),(a, a),(a, b),(a, c),(c, b)\} \).

Damit S symmetrisch wird gilt \( S=\{(b, a),(c, a),(b, c),(a, a),(a, b),(a, c),(c, b)\} \).

Habe ich recht gut ergänzt?

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Ich vermute du sollst so ergänzen, dass die resultierende Relation alle drei Eigenschaften hat.

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Danke, aber meine separate Ergänzungen der Eigenschaften für die Relationen stimmen soweit? ich habe die Ergänzung jeweils separat durch geführt.

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Reflexivität bei 1) ist richtig. Für Transitivität fehlt zum Beispiel (b,b) wegen (b,c) und (c,b).

Teil 2) ist richtig.

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Danke für die Unterstützung