Einen Vektorraum Beweisen anhand zwei funktionen

Question

Aufgabe

Beweis des Vektorraus

Für die Funktionen ff: R -> R

\( \begin{aligned}(f+g)(x) &:=f(x)+g(x) \\(\lambda \cdot f)(x) &:=\lambda \cdot f(x) \end{aligned} \)

Problem/Ansatz

Ich weiß, dass ich einen Vektorraum anhand seiner Axiome beweisen kann, aber ich weiß nicht wie genau ich den Beweis aufstellen kann.

Answer 1

Beispiel Assoziativität von +:

Zu zeigen ist

\((f+g)+h=f+(g+h)\). Hier ist die Gleichheit zweier Abbildungen

zu zeigen. Das macht man, indem man diese durch Einsetzen

beliebiger Argumente nachweist:

Es gilt für alle \(x\in \mathbb{R}\):

\(((f+g)+h)(x)=(f+g)(x)+h(x)=(f(x)+g(x))+h(x)=\)

Nun Assoz. in \((\mathbb{R},+)\)  anwenden:

\(=f(x)+(g(x)+h(x))=f(x)+(g+h)(x)=(f+(g+h))(x)\).

Answer 2

Seien \(u,v,w: \mathbb{R}\to\mathbb{R}\) Funktionen und \(\alpha,\beta \in \mathbb{R}\).

Ferner seien

        \(z: \mathbb{R}\to\mathbb{R}, x\mapsto 0\)

und

        \(u': \mathbb{R}\to\mathbb{R}, x\mapsto -u(x)\).

Begründe warum für alle \(x\in \mathbb{R}\) gilt:

1. \((u+(v + w))(x) = ((u+v) + w)(x)\)
2. \((u + v)(x) = (v+u)(x)\)
3. \((u + z)(x) = u(x)\)
4. \((u + u')(x) = z(x)\)
5. \(((\alpha\cdot\beta)\cdot u)(x) = (\alpha \cdot (\beta \cdot u))(x)\)
6. \((1\cdot u)(x) = u(x)\)
   
7. \((\alpha\cdot (u + v))(x) = (\alpha \cdot u + \alpha \cdot v)(x)\)
   
8. \(((\alpha+\beta)\cdot u)(x) = (\alpha \cdot u + \beta \cdot u)(x)\)
   
   
   

Beispielhaft die Begründung zu 7.

\(\begin{aligned}& & & \left(\alpha\cdot\left(u+v\right)\right)(x)\\ & \text{Definition }"\cdot"\text{ im VR} & =\, & \alpha\cdot\left(u+v\right)(x)\\ & \text{Definition }"+"\text{ im VR} & =\, & \alpha\cdot\left(u(x)+v(x)\right)\\ & \text{Distributivgesetz in }\mathbb{R} & =\, & \alpha\cdot u(x)+\alpha\cdot v(x)\\\\ & & & \left(\alpha\cdot u+\alpha\cdot v\right)(x)\\ & \text{Definition }"+"\text{ im VR} & =\, & \left(\alpha\cdot u\right)(x)+\left(\alpha\cdot v\right)(x)\\ & \text{Definition }"\cdot"\text{ im VR} & =\, & \alpha\cdot u(x)+\alpha\cdot v(x)\end{aligned}\)