Prüfen, dass K kein Körper ist

Question

Sei (G, ·) eine Gruppe.Wir erklären auf G×G eine Verknüpfung ⊙ durch (a, b)⊙(a′, b′) := (a·a′, b·b′).
Ist dann (G × G, ⊙) eine Gruppe?
(b) Sei (K, +, ·) ein Körper. Wir erklären ⊕, ⊙ analog zu (a). Warum ist dann (K × K, ⊕, ⊙) kein Körper?

a) habe ich gezeigt mit den Axiomen

b) Ich bin alle Kriterien für einen Körper durchgegangen und es trifft alles zu. Wo könnte ich etwas übersehen haben? Meine Vermutung ist bei der Kommutativität bei der Multiplikation aber da bin ich mir nicht sicher

Answer 1

Zu b)

Wir haben \((1,0]\neq (0,0)\) und \((0,1)\neq (0,0)\).

Deren Produkt liefert

\((1,0)\odot (0,1)=(0,0)\), d.h. es gibt in dieser Struktur

Nullteiler \(\neq (0,0)\).

Ein Körper ist hingegen Nullteilerfrei.

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Wo könnte ich etwas übersehen haben?

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