Beweis, dass g(f)x))=x für alle Zahlen außer 1/2

Question

Gegeben sei f: R \{\( \frac{1}{2} \) } und g: R \{\( \frac{1}{2} \)}

f(x)=\( \frac{x+4}{2x-1} \)

g(y)=\( \frac{-y-4}{1-2y} \)

Zeigen Sie: g(f(x))=x für alle x  \{\( \frac{1}{2} \)} und f(g(y))=y für alle y \{\( \frac{1}{2} \)}

Wenn ich die Aufgabe richtig verstanden habe muss ich doch f(x) in g(x) einsetzten und Zeigen, dass die Funktion für alle Zahlen definiert ist aus für 1/2. Ich weiß, aber nicht wie man da vorgeht setzte ich dann einfach für alle x Werte y ein?

Answer 1

Du musst einmal $$ g(f(x)) = \frac{ -\frac{ x + 4 }{2x - 1 } - 4 }{ 1-2 \cdot \frac{ x + 4 } { 2x - 1 } } $$ und einmal

$$ f(g(y)) = \frac{ \frac{-y - 4}{ 1 - 2y } +4} { 2 \cdot \frac{-y - 4}{ 1 - 2y } - 1 } $$ ausrechnen.

Das ergibt jedes entweder \( x \) oder \( y \).

Aber der Nenner bei beiden Ausdrücken wird Null für \( x = y = \frac{1}{2} \) und deshalb ist der Bruch dort nicht definiert.

Du knnst aber den Grenzwert für \( x,y \to \frac{1}{2} \) berechnen.

Answer 2

\(f(g(y))=\frac{g(y)+4}{2g(y)-1}=\frac{\frac{-y-4}{1-2y}+4}{2\frac{-y-4}{1-2y}-1}\)

Rechne dies weiter und schau, ob \(y\) dabei herauskommt.

Entsprechend mit \(g(f(x))=x\).

Answer 3

\( f(x) = \frac{x+4}{2x-1} \)      und   \(  g(y)= \frac{-y-4}{1-2y} \)

==>   g(f(x))    \( = \frac{- \frac{x+4}{2x-1}-4}{1-2 \frac{x+4}{2x-1}} \)  mit 2x-1 erweitern

              \( = \frac{-(x+4) -4(2x-1)}{(2x-1)-2(x+4) } \)

                          \( = \frac{-x-4 -8x+4}{2x-1-2x-8 } = \frac{-9x}{-9} = x \)