Zeigen Sie, dass (N, ≤) reflexiv, transitiv und antisymmetrisch ist.

Question

Aufgabe 2  Eine Relation R auf einer Menge X heißt antisymmetrisch, falls

x ∼R y und y ∼R x

⇒ x = y.
(a) Zeigen Sie, dass (N, ≤) reflexiv, transitiv und antisymmetrisch ist.
(b) Zeigen Sie, dass (P(N), ⊆) reflexiv, transitiv und antisymmetrisch ist.

Answer 1

(a) Zeigen Sie, dass (N, ≤) reflexiv, transitiv und antisymmetrisch ist.

reflexiv: Sei x∈ℕ ==>   x≤x. Also (N, ≤) reflexiv.

Seien x,y,z ∈ℕ   und x≤y und  y≤z

           ==>   x≤z   Also (N, ≤) , transitiv.

Seien x,y ∈ℕ  und x≤y und y≤x

            ==>  x=y    Also (N, ≤)  antisymmetrisch .

Entsprechend:

(b) Zeigen Sie, dass (P(N), ⊆) reflexiv, transitiv und antisymmetrisch ist.

Comments

Antisymmetrie:

Seien x,y ∈ℕ  und x≤y und y≤x

          ==>  x≤y   Also (N, ≤)  antisymmetrisch .

Da ist ein Fehler passiert. Es sollte so lauten:

"Seien x,y ∈ℕ  und x≤y und y≤x

          ==>  x = y   Also (N, ≤)  antisymmetrisch ."

---

Danke, war vertippt, ist korrigiert.