du suchst eine Funktion
an = f(n) = a·n^3 + b·n^2 + c·n + d
welche folgende Bedingungen / Eigenschaften erfüllt,
f(1) = 1
f(2) = 5
f(3) = 14
f(4) = 30
Das gibt ein lineares Gleichungssystem welches man lösen kann. Ich benutze mal http://www.arndt-bruenner.de/mathe/scripts/steckbrief.htm
Gleichungssystem
a + b + c + d = 1
8a + 4b + 2c + d = 5
27a + 9b + 3c + d = 14
64a + 16b + 4c + d = 30
Errechnete Funktion
f(x) = 1/3·x^3 + 1/2·x^2 + 1/6·x
Nun könnte man erstmal 1/6·x ausklammern
f(x) = 1/6·x·(2·x^2 + 3·x + 1)
f(x) = 1/6·x·(2·x^2 + 2·x + x + 1)
f(x) = 1/6·x·(2·x·(x + 1) + ( x + 1))
f(x) = 1/6·x·((2·x + 1)·(x + 1))
So bekommt man also hier eine Funktion hin.
f(n) = 1/6·n·(2·n + 1)·(n + 1)
Dass diese jetzt nicht nur für die ersten Werte gilt, die wir von Hand berechnet haben, sondern eben für alle, beweist man jetzt im Anschluss mit der vollständigen Induktion.
