Zeigen Sie: Es gilt H(a,b) ≤ G(a,b) ≤ A(a,b) und Gleichheit gilt jeweils genau dann, wenn a = b.

Question

Aufgabe:

Für a, b ∈ R mit a,b > 0 definieren wir

A(a,b) = (a+b)/2 , G(a,b) = √ab , H(a,b) = 1/(A(1/a,1/b))=2ab/(a+b)

Zeigen Sie: Es gilt

H(a,b) ≤ G(a,b) ≤ A(a,b)

und Gleichheit gilt jeweils genau dann, wenn a = b.

Problem/Ansatz:

Ich glaube die Gleichheit könnte ich beweisen, indem ich a für b ersetze oder andersrum. Aber beim ersten Teil weiß ich leider nicht weiter

Answer 1

Seien a, b ∈ R mit a,b > 0. Dann ist für G(a,b) ≤ A(a,b)

zu zeigen   √ab  ≤   (a+b)/2

<=>     2√ab ≤  a+b

wegen a,b > 0 gilt a=(√a) ² und  b=(√b) ²

also bleibt zu zeigen:    2√ab ≤ (√a) ²  + (√b) ²

<=>    0   ≤ (√a) ²  -   2√ab + (√b) ²

<=>    0  ≤ (√a- √b) ²

Und Quadrate sind nie negativ. q.e.d.

Außerdem ist =0 nur für a=b erfüllt.

Und für H(a,b) ≤ G(a,b) ist zu zeigen

         2ab/(a+b) ≤ √ab  
<=>    2ab ≤  (a+b)√ab

<=>    ab / √ab  ≤  (a+b)/ 2

<=>     √ab ≤  (a+b)/ 2   . Und das kennen wir schon.

Comments

Danke für die Antwort.

Jetzt fehlt mir nur noch der Teil H≤G oder H≤A. Wie könnte ich das zeigen?

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Lies mal dort weiter:

Und für H(a,b) ≤ G(a,b) ist zu zeigen......

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Danke dir, habs geblickt :)

Answer 2

Aloha :)

Wenn ich die Behauptung richtig lese, sollst du zeigen:$$\frac{2ab}{a+b}\le\sqrt{ab}\le\frac{a+b}{2}\quad;\quad a,b\in\mathbb R^+$$

Dazu betrachte mit Hilfe der zweiten binomischen Formel:$$0\le(\sqrt a-\sqrt b)^2=(\sqrt a)^2-2\sqrt a\,\sqrt b+(\sqrt b)^2=a-2\sqrt{ab}+b\implies 2\sqrt{ab}\le a+b$$

Daraus folgen beide Ungleichungen:$$2\sqrt{ab}\le a+b\stackrel{(\cdot\sqrt{ab})}{\implies}2ab\le(a+b)\sqrt{ab}\stackrel{(\div(a+b))}{\implies}\frac{2ab}{a+b}\le\sqrt{ab}$$$$2\sqrt{ab}\le a+b\stackrel{(\div2)}{\implies}\sqrt{ab}\le\frac{a+b}{2}$$

Comments

Danke dir, habs geblickt :)