Aloha :)
Du brauchst eine Reihe, die zwar konvergiert, aber nicht absolut konvergiert.
Das typsiche Beispiel dafür ist die alternierende harmonische Reihe:$$\sum\limits_{k=0}^\infty\frac{(-1)^k}{k+1}=\ln(2)$$Gemäß des Leibnitz-Kriteriums reicht für es für die Konvergenz alternierender Reihen bereits aus, dass die Folge \(\left(\frac{1}{k+1}\right)\) eine monotone Nullfolge ist.
Diese Reihe ist aber nicht absolut konvergent, denn:$$\sum\limits_{k=0}^\infty\left|\frac{(-1)^k}{k+1}\right|=\sum\limits_{k=0}^\infty\frac{1}{k+1}=\sum\limits_{k=0}^\infty\frac1k\to\infty$$
Wenn du die alternierende harmonische Reihe so umordnest, dass zuerst alle Summanden mit geraden \(k\) addiert werden, von denen es unendlich viele gibt, kommen die Summanden mit ungeraden \(k\) nie an die Reihe, sodass keine Konvergenz eintritt.
