Körper mit komplexen Zahlen

Question

Text erkannt:

1. Im Körper \( \mathbb{C} \) mit den üblichen Operationen:
(a) \( (1-7 \mathrm{i})(2-i)^{-1}+\left(\frac{1}{2 \mathrm{i}}\right) i^{3} \)
(b) \( \frac{(5-2 \mathrm{i})^{2}}{(1-i)^{2}} \)

Aufgabe:

Ermitteln Sie das Resultat der folgenden Operationen in den gegebenen Struktuen

Problem/Ansatz:

Was bedeutet die Aufgabenstellung?  Wie ermittel ich so etwas?

Answer 1

Aloha :)

Willkommen in der Mathelounge... \o/

Hier kannst du "wie gewohnt" rechnen. Es gibt jedoch die zusätzliche Regel \((i^2=-1)\).

$$(1-7i)(2-i)^{-1}+\frac{1}{2i}\cdot i^3=\frac{1-7i}{2-i}+\frac{i^2}{2}=\frac{(1-7i)\pink{(2+i)}}{(2-i)\pink{(2+i)}}+\frac{(-1)}{2}$$$$\qquad=\frac{2-14i+i-7i^2}{2^2-i^2}-\frac12=\frac{2-13i-7\cdot(-1)}{2^2-(-1)}-\frac12=\frac{9-13i}{5}-\frac12$$$$\qquad=\frac{9}{5}-\frac12-\frac{13}{5}i=\frac{13}{10}-\frac{13}{5}\,i=\frac{13}{10}(1-2i)$$

$$\frac{(5-2i)^2}{(1-i)^2}=\left(\frac{5-2i}{1-i}\right)^2=\left(\frac{(5-2i)\pink{(1+i)}}{(1-i)\pink{(1+i)}}\right)^2=\left(\frac{5-2i+5i-2i^2}{1^2-i^2}\right)^2$$$$\qquad=\left(\frac{5+3i-2\cdot(-1)}{1-(-1)}\right)^2=\left(\frac{5+3i+2}{2}\right)^2=\frac{(7+3i)^2}{2^2}$$$$\qquad=\frac{49+42i+9i^2}{4}=\frac{49+42i-9}{4}=\frac{40+42i}{4}=\frac{20+21i}{2}$$

Bei solchen Aufgaben tritt im Nenner gerne eine komplex Zahl auf. Wie gezeigt, hilft dann die Verwendung der 3-ten binomischen Formel als "Standard-Trick" (\(\pink{\text{pink}}\)) weiter.

Comments

hallo,

aber man benötigte ja jeweils den Realteil und den Imaginärteil. Wie berechne ich den hier?

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Der Imaginärteil heißt mit "Nachnamen" \(i\):

$$\frac{13}{10}(1-2i)=\underbrace{\frac{13}{10}}_{\mathrm{Re}}\;\underbrace{-\;\frac{13}{5}}_{\mathrm{Im}}\,i$$$$\frac{20+21i}{2}=\underbrace{10}_{\mathrm{Re}}\;\underbrace{+\;\frac{21}{2}}_{\mathrm{Im}}\,i$$Vorzeichen beachten ;)