Aufgabe:
Es seien V ein Vektorraum und entweder I = {0,1,...,r} ⊂ N mit r ≥ 0 oder I = N. Eine Familie (Ui)i∈I von Unterräumen Ui ⊂ V heißt eine aufsteigende Unterraumkette in V, falls
Ui−1 Ui füralle i∈I\{0}.
Beweise:
(a) V ist genau dann unendlichdimensional, wenn es in V eine aufsteigende Unterraumkette (Ui)i∈N gibt.
(b) Es gilt genau dann dim V = n < ∞, falls in V eine aufsteigende Unterraumkette (U0, U1, . . . , Un),
aber keine aufsteigende Unterraumkette (U0, U1, . . . , Un+1) existiert.
