Aufgabe:
Sei \( \left(a_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}} \) eine reelle Folge und \( a \in \mathbb{R} \). Zeigen Sie, dass \( a_{n} \rightarrow a \) für \( n \rightarrow \infty \) genau dann gilt, wenn \( \left(a_{n}\right)_{n} \) beschränkt ist und \( a \) ihr einziger Häufungswert ist.
Hinweis: Verwenden Sie Aufgabe \( 4.2 \) aus der Plenarübung.
Bemerkung: Hieraus folgt insbesondere, dass \( \left(a_{n}\right)_{n} \) genau dann konvergiert, wenn \( \liminf _{n \rightarrow \infty} a_{n}=\lim \sup _{n \rightarrow \infty} a_{n} \in \mathbb{R} \) (vgl. Aufgabe \( 4.3 \) Plenarübung).
