Unterschiedliche Wahrscheinlichkeiten je nach Antwort

Question

Aufgabe:

3 von 32 Skaatkarten werden gezogen. Die ersten beiden Karten werden aufgedeckt, und nun wird gefragt, ob die dritte Karte im Wertebereich der anderen Zwei liegt oder nicht.

Beispiel: 1. Karte ist eine Bube, 2. Karte ist eine 8. Das bedeutet, die dritte Karte müsste entweder eine Bube, 9 oder 8 sein, um in dem Bereich zu liegen.

Berechnen sie die Wahrscheinlichkeit, mit welcher man diese Frage richtig beantwortet

Problem/Ansatz:

Ich habe nun die Wahrscheinlichkeit ausgerechnet, das die Dritte Karte Innerhalb oder Außerhalb liegt.

Wahrscheinlichkeit, wenn man Innerhalb gewählt hat dass das stimmt: $$\frac{199}{465}$$

Wahrscheinlichkeit, wenn man Außerhalb gewählt hat, dass das stimmt: $$\frac{353}{465}$$

Ich war zuerst verwirrt, das die beiden Wahrscheinlichkeiten addiert nicht 1 ergeben, aber das ergibt Sinn. (Wenn ihr meine Rechnung benötigt fragt einfach)

Nun möchte ich wissen, mit welcher Wahrscheinlichkeit man diese Frage (Innerhalb oder Außerhalb) richtig beantwortet.

Einfach Addieren kann man die Wahrscheinlichkeiten ja nicht. Ich habe folgenden Ansatz versucht:

$$\frac{1}{2}*\frac{199}{465}+\frac{1}{2}*\frac{353}{465}=\frac{92}{155}$$

Kann man das so einfach machen?

Answer 1

und nun wird gefragt, ob die dritte Karte im Wertebereich der anderen Zwei liegt oder nicht.

Ich kenne dann ja schon die beiden Karten. Dann würde ich bis einer Differenz von 3 zu 100% "Außerhalb" wählen und ab einer Differenz von 4 zu 100% "Innerhalb" wählen.

\(\frac{1}{2}*\frac{199}{465}+\frac{1}{2}*\frac{353}{465}=\frac{92}{155}\)

Da gehst du von einer gleichverteilten Entscheidung zwischen "Innerhalb" und "Außerhalb" aus.

Außerdem bezweifel ich die \(\frac{353}{465}\). Warum sollte die Summe nicht 1 ergeben.

Comments

Ich kenne dann ja schon die beiden Karten. Dann würde ich bis einer Differenz von 3 zu 100% "Außerhalb" wählen und ab einer Differenz von 4 zu 100% "Außerhalb" wählen.

Das stimmt, dadurch ergibt sich eine andere Verteilung als \(\frac{1}{2}\) Es gibt Insgesamt 64 verschiedene kombinationen von Differenzen, davon sind 44 <=3 und 20 > 3. Also rechne ich jetzt anstatt $$\frac{1}{2}*\frac{199}{465}+\frac{1}{2}*\frac{353}{465}=\frac{92}{155}$$ folgendes: $$\frac{20}{64}*\frac{199}{465}+\frac{44}{60}*\frac{353}{465}=\frac{19512}{29760}$$ Danke!

Außerdem bezweifel ich die \(\frac{353}{465}\). Warum sollte die Summe nicht 1 ergeben.

Ich habe das so gerechnet:

Es gibt 8 verschiedene Differenzen (0-7). Bei Differenz 0 und 1 ist die Wahrscheinlichkeit Außerhalb zu landen dann \(\frac{30}{30}\) Ab Differrenz 2 nimmt dann die Wahrscheinlichkeit um 4 günstige "pro Differenz" ab.

Also Rechne ich die Wahrscheinlichkeiten für jede Differenz aus und addiere dann diese Wahrscheinlichkeiten.

Differenz 0: $$\frac{4}{32}*\frac{3}{31}*\frac{30}{30}*8$$Der Faktor 8 steht für die 8 verschiedenen Kombinationen der Differenz 0

Differenz 1: $$\frac{4}{32}*\frac{4}{31}*\frac{30}{30}*14$$

Differenz 2: $$\frac{4}{32}*\frac{4}{31}*\frac{26}{30}*12$$

Und so weiter. Am Ende komme ich dann auf \(\frac{353}{465}\)

Meiner Meinung müsste das so stimmen, oder habe ich einen Denkfehler drin?

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Die Wahrscheinlichkeit, dass die Differenz der ersten beiden Karten \(0\) beträgt und die dritte Karte Außerhalb liegt, ist

        \(\frac{4}{32}\cdot \frac{3}{31}\cdot\frac{28}{30}\cdot 8\).

Die 28 kommt dadurch zustanden, dass von den 30 verbliebenen Karten die zwei verbliebenen ausgeschlossen wurden, die den Wert der ersten beiden Karten haben.

Die Wahrscheinlichkeit, dass die Differenz der ersten beiden Karten \(1\) beträgt und die dritte Karte Außerhalb liegt, ist

      \(\frac{4}{32}\cdot \frac{4}{31}\cdot\frac{20}{30}\cdot 14\).

Die 20 kommt dadurch zustande, dass von den 30 verbliebenen Karten \(3 + 4 + 3=10\) Karten ausgeschlossen wurden.

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Die 28 kommt dadurch zustanden, dass von den 30 verbliebenen Karten die zwei verbliebenen ausgeschlossen wurden, die den Wert der ersten beiden Karten haben.

Guter Gedanke, aber das ist eine Besonderheit dieses Spiels (Das Experiment ist aus dem (Drink-)Spiel "Busfahren" entnommen). Wenn die dritte Karte gleich ist wie eine der ersten beiden Karten, dann ist diese Karte Innerhalb und Außerhalb zugleich.

Wenn man Z.B. 2x eine 9 Zieht, würde eine weitere 9 als Innerhalb und Außerhalb zählen, also wäre beides Richtig. Ich denke auch deshalb ergeben die beiden Wahrscheinlichkeiten am Ende nicht 1.