Eulersche Zahl Logarithmus: e^{lnx-x} =x Fangfrage?

Question

Hallo Ihr Lieben,
bitte  um Unterstützung mit dem Rechenweg ;) danke
e^{lnx-x}  =x
ich glaube das ist eine Fangfrage .

lg

Answer 1

Hi,

e^ln(x)-x = e^ln(x)*e^{-x} = x*e^{-x}

Damit also:

x*e^{-x} = x         |:x für x ≠ 0

e^{-x} = 1

x = 0

 

Überprüfen ob x = 0 Lösung sein kann -> Nein, geht nicht, da ln(0) nicht definiert.

 

Grüße

Answer 2

Doch, x=0 ist wirklich eine Lösung, denn Grenzwert  lim exp(log(x)-x),x->0 = 0

Auch die Reihenentwicklung für x um 0 lautet x -x² + x³/2 - x^4/6 + x^5/24...

Selbst wenn die Aufgabe anders lautet (-x nicht im Exponenten): exp(log(x))-x=x

kommt auch x=0 heraus

Comments

Nein, x=0 ist keine Lösung der Gleichung. \(\ln(0)\) ist nunmal nicht definiert. Das hat nichts mit irgendwelchen Grenzwerten zu tun.

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§1: Natürlich hat das was mit Grenzwerten zu tun!  Nur weil eine Teil-Funktion in einem Punkt gegen -∞ strebt (das ist etwas anderes als UNDEFINIERT!), deshalb muss der Grenzwert der kompletten Funktion nicht auch undefiniert sein. Durch Umstellung kommt man zur eigentlichen Funktion:

exp(log(x)-x) = x * e^{-x}  

§2 Die Reihenentwicklung der kompletten Funktion um x=0 ist auch eindeutig definiert!  Ganz eindeutiger Durchgang durch den Nullpunkt!

§3 Die Grafiken sind auch eindeutig ohne Sprünge und in jedem Punkt ableitbar:

d/dx exp(log(x)-x) = e^{-x} * (1-x)  

zurück per Integration: integrate e^{-x}*(1-x) dx = x * e^{-x}  wieder die eigentliche überall definierte Funktion!

§4: Es gibt sogar viele Funktionen, die Teilfunktionen mit 1/x beinhalten und als ganze Funktion genau wie diese hier durchgängig zeichenbar und ableitbar sind.

So könnte ich fast in jede Funktion, die durch den Ursprung verläuft durch Umstellung was mit log(x) einbauen -> und dann würden diese alle plötzlich in diesem Punkt nicht mehr definiert sein -> das wäre schlimm!

Ich habe schon viele Funktionen für den kompletten reellen Zahlenbereich (manchmal auch komplexe Z.) gültig gemacht, wo alte Professoren mit ihren alten Sprüchen "...ist aber nur für ganze Zahlen definiert" festhielten. (Fakultät, Fibonacci(x), StirlingS1(x,2) per hypergeometrische Funktionen)

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§1: Nochmal, wir reden hier nicht von Grenzwerten (jedenfalls war davon nichts in der Frage zu lesen). Und \(\ln(0)\) ist nicht definiert. Oder kannst du mir eine Zahl \(x\) nennen, sodass \(e^x=0\) ist?

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§5: e^{-∞} = 0

e^{-∞}-0 =0

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Seit wann ist \(-\infty\) eine Zahl?

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§6: bei exp(log(sin(x))) = sin(x)  sieht es jeder sofort ein und beharrt nicht stur auf "Zwischen-Definitionen" nur weil sin(0)=0 und log(0) nun plötzlich als (scheinbar)undefinierter Punkt in einer Teil-Funktion auftaucht!

Da zählt die Reihenentwicklung! Die ist hier für beide eindeutig.

Wäre echt schlimm, wenn solch sture Entwickler die Forschung so zurückhalten würden, nur weil sie nicht offen für viele Dinge sind...

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Was hat das mit Offensein für irgendetwas zu tun???

Naja, bleib bei deinen Ansichten; jedenfalls war vieles von dem, was du oben geschrieben hast, Unsinn.

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Du/Sie hast/haben noch nichts zu §6 gesagt! Würde man auch  exp(log(sin(x))) und damit sin(x) auch den Ursprung als Undefiniert betrachten, nur weil eine Teilfunktion (scheinbar) undefiniert ist.  

Sie ist eben nicht undefiniert, sondern es kann durchaus sein, dass Punkte durch Grenzwert-Punkte verlaufen.

Und bis jetzt sind wir Fachlich geblieben. Mit dem unbegründeten Wort "Unsinn" verlassen Sie diesen...

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OK, dann zu $6: \(\exp(\log(\sin(x)))\) ist (zumindest im Reellen) nur für diejenigen Werte von x definiert, für die \(\sin(x)\) positiv ist, und dann tatsächlich gleich \(\sin(x)\). Für alle anderen x-Werte ist es nicht definiert.
Das hat aber nichts damit zu tun, dass \(\sin(x)\) irgendwo nicht definiert wäre.

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§7:Dann hier: https://de.wikipedia.org/wiki/Einschn%C3%BCrungssatz

x² * sin(1/x) = x - 1/6x + 1/120x³ - Restglied der Reihenentwicklung...

f(0) = 0 , auch wenn Teilfunktion 1/x bei 0 nicht definiert ist.

"Gemäß dem Einschnürungssatz strebt eine Funktion, die von oben und unten durch zwei gegen denselben Wert strebenden Funktionen „eingezwängt“ wird, auch gegen diesen Wert.

Der Einschnürungssatz wird typischerweise dazu verwendet, einen Grenzwert einer Funktion nachzuweisen, indem man die Funktion mit zwei anderen vergleicht, deren Grenzwerte bekannt oder einfach zu bestimmen sind."

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Ich verstehe nicht ganz, was du mir mit dem Einschnürungssatz sagen willst...
Und ja, \(x\mapsto x^2\cdot \sin\left(\frac{1}{x}\right)\) kann man bei 0 stetig ergänzen durch \(0\mapsto 0\). Das heißt aber noch lange nicht, dass man einfach so sagen kann, \(x^2\cdot \sin\left(\frac{1}{x}\right)\) hätte für \(x=0\) den Wert 0.

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Oder sin(x)/x = sinc(x) = 1-x²/6+x^4/120...

Eindeutig f(0)=1

Wäre echt schlimm, wenn all diese Funktionen ab heute keinen Funktionswert bei 0 mehr hätten.

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Auch das ist "nur" eine stetige Fortsetzung.

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An Gast bi810: Wenn Dein Aufgabensteller auch so "altmodisch" ist und alle §1...§7 ignoriert, nichts von Reihenentwicklung versteht, kannst Du natürlich so antworten, wie man es im Abi gelernt hat. Einige Aufgabensteller wollen auch nur fleißige "Auswendiglerner" in Bezug auf das "Vorbeten".   

Aber spätestens, wenn Du eigene Entwicklungsarbeiten oder Neuland betreten wirst, oder mit intelligenten Programmen wie WolframAlpha arbeitest, wirst Du an mich denken...

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Na dann will ich dich mal nicht weiter mit meinen "altmodischen" Ansichten belästigen. Tschüss!

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Aber spätestens, wenn Du eigene Entwicklungsarbeiten oder Neuland betreten wirst, oder mit intelligenten Programmen wie WolframAlpha arbeitest, wirst Du an mich denken...

Ja genau, denn "intelligente Programme wie WolframAlpha" wissen, dass die Funktion \(f(x)=\frac{\sin(x)}{x}\) für \(x=0\) nicht definiert ist, auch wenn der Grenzwert für \(x\rightarrow 0\) \(1\) ist.

https://www.wolframalpha.com/input/?i=domain+sin%28x%29%2Fx