Hier deine Rezeptrechnung.
Schau dir deine zu zeigende Ungleichung an. Beginnen wir mit der rechten Ungleichung. ln(x) <= x-1
Dann schau dir dein Mittelwertsatz an. Der sagt dir: es existiert eine Stelle x0, sodass f`(x0) = f(a) - f(b) / a- b gilt. Nun ist klar, die Funktion, die in der Mitte steht, ist hier f. Rechts von der gleichung stehen gerade die Werte a-b also x-1, das beudetet aber damit du irgendwie auf die Ungleichung kommst, musst du im Zähler ln(x) - 0 stehen haben und 0=ln(1) also passt das genau für unseren Mittelwertsatz.
Nun setzt du das ein: f'(x0) = lnx - ln1 / x-1
Jetzt weißt du aber, was die Ableitung von lnx ist nämlich 1/x0. Somit steht da 1/x0 = lnx - ln1 / x-1
Ok,jetzt brauchen wir aber die oben zu erhaltende Abschätzung und dafür müssen wir auf das Intervall blicken und schauen, wann 1/x0 für welches x0 maximal wird. Naja aber das ist hier natürlich auf Grund der Monotonie x0=1.
Damit haben wir die Abschätzung gefunden lnx / x-1 <= 1 und x-1 rüberbringen und dann hast du die Ungleichung.
PS: Ein Rezept reicht nicht, du musst variable auf solche Situationen regieren, das heißt dir immer klar machen, auf welche Funktion wende ich den Mittelwert an, welche Stelle setze ich für b bzw a ein. Was ist die Ableitung meiner Funktion und wann nimmt sie je nach dem was gesucht ist, den Minimal oder Maximalen Wert an.
Versuch dich dann mal selbstständig an der linken Ungleichung und schau, ob du es verstanden hast.
