Folge mit Summenzeichen, Grenzwert bestimmen

Question

Text erkannt:

Es sei
\( a_{n}:=\sum \limits_{k=1}^{n} \frac{n^{2}+k}{n^{3}+k} \quad \text { für } n \in \mathbb{N} \text {. } \)
Untersuche die Folge \( \left(a_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}} \) auf Konvergenz und bestimme ggf. ihren Grenzwert.

Aufgabe:

Comments

Schon Konvergenzkriterien für Reihen gehabt?

Wenn ja Minorantenkriterium, kannst dir Reihe nach unten abschätzen durch 1/n

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Was heißt das für die Konvergenz der Folge \((a_n)_{n\in\N}\) ?

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Für \(1\le k\le n\) gilt$$\quad(1)\quad\frac{n^2+k}{n^3+k}\le\frac{n^2+n}{n^3+1}\\\quad(2)\quad\frac{n^2+k}{n^3+k}\ge\frac{n^2+1}{n^3+n}$$Es folgt$$\qquad\sum_{k=1}^n\frac{n^2+1}{n^3+n}\le\sum_{k=1}^n\frac{n^2+k}{n^3+k}\le\sum_{k=1}^n\frac{n^2+n}{n^3+1}\\\implies n\cdot\frac{n^2+1}{n^3+n}\le a_n\le n\cdot\frac{n^2+n}{n^3+1}\\\implies1\le a_n\le 1+\frac{n^2-1}{n^3+1}.$$Nach dem Sandwichlemma ist also \(\displaystyle\lim_{n\to\infty}a_n=1\).

Answer 1

Hi, hab das eben mal am Ipad runtergeschrieben. Wenn du das n ausklammerst und n -> unendlich laufen lässt, dann kommst du auf 1/n. 1 geteilt durch eine sehr große zahl ist eben 0 bzw nahe 0. Grenzwert: 0

Comments

Wo ist denn beim Ausklammern von \(n^2\) die Summe geblieben?

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Da steht eine Summe, nicht nur ein Term.

https://www.wolframalpha.com/input?i=lim+sum+%28n%5E2%2Bk%29%2F%28n%5E3%2Bk%29+from+k%3D+1+to+n

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Wie hättest du es gelöst? @ggT22