Stochastik Berechnung von Wahrscheinlichkeiten

Question

Aufgabe:

Hallo! Ich habe gerade das Thema Stochastik und wundere mich, dass bei relativ ähnlichen Aufgaben verschiedene Verfahren zum Lösen verwendet werden müssen. Bei der Aufgabe 1 soll die Lösung nur durch Multiplikation von 2 Binomialkoeffizienten gelöst werden, bei der Aufgabe 2 durch eine Binomialverteilung

Aufgabe 1:

In einer Box mit 20 Schrauben sind zwei Schrauben länger als die restlichen. Es werden fünf Schrauben mit einem Griff herausgenommen. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass
\( 5.1 \) Zwei Schrauben länger sind.
\( 5.2 \) Keine Schraube länger ist.
5.3 Genau eine Schraube länger ist.

Aufgabe 2:

Münzwürf( \( \star \) )
Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass beim Werfen einer Münze genau drei Mal Kopf fällt, wenn ...
a) \( 3 \mathrm{Mal} \)
b) \( 5 \mathrm{Mal} \)
c) \( 10 \mathrm{Mal} \)
d) 100 Mal ... geworfen wird.
e) Begründen Sie, warum für \( n>100 \) die Wahrscheinlichkeit fast Null ist.

Problem/Ansatz:

Wie kann ich aus der Aufgabenstellung herauslesen, welches Verfahren zu verwenden ist?

Answer 1

Die Aufgaben klingen zwar sehr ähnlich. Bei der 1. Aufgabe handelt es sich jedoch um eine Ziehung ohne zurücklegen, weshalb sich die Wahrscheinlichkeit für eine lange Schraube bei jedem Zug verändert.

Bei Aufgabe 2 handelt es sich jedoch immer um die gleiche Wahrscheinlichkeit, dass Kopf bzw. Zahl eintritt.

Daher löst man Aufgabe 1 hier mit der hypergeometrischen Verteilung, Aufgabe 2 jedoch mit der Binomialverteilung.

Comments

1.

a) P = COMB(2, 2)·COMB(18, 3)/COMB(20, 5) = 1/19 = 0.0526
b) P = COMB(2, 0)·COMB(18, 5)/COMB(20, 5) = 21/38 = 0.5526
c) P = COMB(2, 1)·COMB(18, 4)/COMB(20, 5) = 15/38 = 0.3947

2.

a) P = COMB(3, 3)·0.5^3 = 1/8 = 0.125
b) P = COMB(5, 3)·0.5^5 = 5/16 = 0.3125
c) P = COMB(10, 3)·0.5^10 = 15/128 = 0.1172
d) P = COMB(100, 3)·0.5^100 = 1.276·10^(-25)
e) Nahezu 100% der Ereignisse befinden sich im 3-Sigma-Intervall. [n·0.5 - 3·√(n·0.5·0.5), n·0.5 + 3·√(n·0.5·0.5)]. Genau drei Treffer sind bereits bei 100 Würfen weit außerhalb dieses Intervalls, weshalb es nahezu nicht mehr auftritt.