Stetigkeit beweisen von Funktionen

Question

Aufgabe:

Zeige, dass wenn f : R → R und g : R → R beide auf R stetig sind, auch die Funktionen M(x) :=
max(f(x), g(x)) und m(x) := min(f(x), g(x)) auf R stetig sind.

Wie kann man das zeigen?

Answer 1

Eine Standardmethode für den Beweis ist, sich darauf zu berufen, dass die Summe/Differenz und die Verkettung stetiger Funktionen wieder stetig ist. Auch das Multiplizieren stetiger Funktionen mit einem konstanten Faktor - unten ist es \(\frac 12 \) - gibt wieder eine stetige Funktion.

Nun schreibt man:

$$\max(f(x),g(x)) = \underbrace{ \frac{f(x) + g(x)}2}_{\text{Mittelwert von }f(x) \text{ und } g(x)} + \underbrace{ \frac{|f(x) - g(x)|}2}_{\text{hälftiger Abstand von }f(x) \text{ und } g(x)}$$

und analog

$$\min(f(x),g(x)) =  \frac{f(x) + g(x)}2- \frac{|f(x) - g(x)|}2$$