Stetigkeit von Funktionen beweisen

Question

Aufgabe:

Beweisen Sie, dass die folgenden Funktionen \( f_{i}: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \) stetig in \( x_{0}=0 \) sind:

$$ \begin{aligned} f_{1}(x) &=\sqrt{x^{+}}, \quad f_{2}(x)=|x| \arctan (x), \quad f_{3}(x)=e^{|x|-1} \\ f_{4} &=\left\{\begin{array}{ll} {x} & {x \in \mathbb{Q}} \\ {0} & {x \notin \mathbb{Q}} \end{array}, \quad f_{5}(x)=\left\{\begin{array}{ll} {x \sin (1 / x)} & {x \neq 0} \\ {0} & {x=0} \end{array}\right.\right. \end{aligned} $$

Answer 1

Bei f4 ist es recht einfach.

Du musst zeigen: zu jedem ε>0 gibt es ein δ>0 so dass für

alle x gilt  |x-0| <  δ   ==>   |f(x)-f(0) | < ε

Sei also ε>0. Wähle  δ=ε  dann gilt

|x-0| <  δ  ==>  |x| <  δ  ==>  |x| <  ε

                                 ==>  | f(x) |  <  ε  denn f(x) ist ja entweder gleich x oder gleich 0

                                 ==>  | f(x)  - f(0) |  <  ε   denn f(0)=0.

Comments

Herzlichen Dank für deine Antwort. ich wollte fragen ob ich unbedingt mit diese Epsilon - Delta Regel machen muss? Wir haben es auch mit diese Methode in die Vorlesung gemacht aber in verschiedene Internetseite (wie bei Mathebibel z.b) steht eine andere Methode, wo wir die Grenzwerte bestimmen, die ein bisschen leichter sieht, wäre das auch okay?

und kannst du mir bitte bei f3 und f5 helfen. Wäre wirklich dankbar.

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Geht auch mit dem Folgenkriterioum:

Wenn etwa bei f5 (xn ) n∈ℕ  irgendeine Nullfolge ist, dann gilt

f(xn) = xn * sin(1/xn)   für alle n, bei denen xn≠0 ist , bei denen sind

allerdings die Folgenglieder der Funktionswertfolge alle 0, stören also

den Grenzwert 0 nicht. Bei den anderen ist es ein

Produkt aus einer Nullfolge und einer beschränkten (  |sin(…)| ≤ 1 )

Folge, also insgesamt eine Nullfolge und damit ist der Grenzwert der

Funktionswertfolge auch 0, wie der Funktionswert an der

Stelle 0, also f5 stetig bei 0.