Zeigen Sie, dass E(Y ) = 2 / 3 b + 2/ 3 gilt.

Question

Aufgabe:Die Verteilung einer Zufallsvariablen Y sei in Abhängigkeit des unbekannten Parameters
b > 2 durch die folgende Dichtefunktion gegeben:

… f_y ( y : b ) = ( 2(y−2) ) / ((b-2)^2 )  für  2 ≤ y ≤ b

                      0 sonst

Der Parameter b soll auf Grundlage einer einfachen Stichprobe X1, . . . , Xn vom Umfang n geschätzt werden.

Zeigen Sie, dass E(Y ) = 2 / 3 b + 2/ 3 gilt.

Problem/Ansatz:

Answer 1

Aloha :)$$E(Y)=\int\limits_{-\infty}^\infty y\cdot f_b(y)\,dy=\int\limits_{y=2}^by\cdot\frac{2(y-2)}{(b-2)^2}\,dy=\frac{2}{(b-2)^2}\int\limits_{y=2}^b(y^2-2y)\,dy$$$$\phantom{E(Y)}=\frac{2}{(b-2)^2}\left[\frac{y^3}{3}-y^2\right]_{y=2}^b=\frac{2}{(b-2)^2}\left(\left(\frac{b^3}{3}-b^2\right)-\left(\frac{2^3}{3}-2^2\right)\right)$$$$\phantom{E(Y)}=\frac{2}{(b-2)^2}\left(\frac{b^3-3b^2}{3}+\frac43\right)=\frac{2}{(b-2)^2}\cdot\frac{b^3\pink{-3b^2}+4}{3}$$$$\phantom{E(Y)}=\frac{2}{(b-2)^2}\cdot\frac{(b^3\pink{-4b^2}+\green{4b})+(4\pink{+b^2}\green{-4b})}{3}$$$$\phantom{E(Y)}=\frac{2}{(b-2)^2}\cdot\frac{b(b^2-4b+4)+(b^2-4b+4)}{3}$$$$\phantom{E(Y)}=\frac{2}{\pink{(b-2)^2}}\cdot\frac{b\cdot\pink{(b-2)^2}+1\cdot\pink{(b-2)^2}}{3}$$$$\phantom{E(Y)}=\frac{2}{\pink{(b-2)^2}}\cdot\frac{(b+1)\cdot\pink{(b-2)^2}}{3}=\frac{2(b+1)}{3}=\frac23b+\frac23$$

Answer 2

Hier ist ein kurzer Weg zur Berechnung: Per Definition gilt

$$E(Y) = \frac 2{(b-2)^2}\int_2^b y(y-2)\;dy$$

Nun sehen wir (b-2) im Nenner. Das legt nahe, das Integral besser von 0 bis b-2 statt von 2 bis b laufen zu lasssen. Hier hilft die Substitution t = y-2:

$$\int_2^b y(y-2)\;dy \stackrel{t=y-2}{=}\int_0^{b-2}(t+2)t\; dt =\int_0^{b-2}(t^2+2t)\; dt =\frac{(b-2)^3}{3}+(b-2)^2$$.

Also

$$E(Y) = \frac 2{(b-2)^2}\left(\frac{(b-2)^3}{3}+(b-2)^2\right) =\frac 23 (b-2) + 2 = \frac 23 b + \frac 23$$.