Lineares gleichungssystem mit zwei gleichungen und fünf unbekannten

Question

Aufgabe:

Lineares gleichungssystem lösen mit 5 unbekannten und zwei gleichungen im Körper Z₅

Matrix A:

$$\begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 & 3 & 0 \\ 0 & 2 & 1 & 0 & 4 \end{pmatrix}$$

Problem/Ansatz:

Wenn ich die Matrix oben in ein lineares gleichungssystem überführe und beide gleich 0 setze, darf ich drei unbekannte nach belieben aussuchen.

$$1x_{1} + 0x_{2} + 1x_{3} + 3x_{4} + 0x_{5} = 0 \\ 0x_{1} + 2x_{2} + 1x_{3} + 0x_{4} + 4x_{5} = 0$$

Ich habe mir dann

x₂ = a , x4 = b, x₅ = c

definiert und habe dann

x₃ = 3a + c, x₁ = 2a+4c+2b

rausbekommen.

Meine Lösung würde nun als Vektor so aussehen:

$$\begin{pmatrix} 2\\1\\3\\0\\0 \end{pmatrix} a + \begin{pmatrix} 2\\0\\0\\1\\0 \end{pmatrix} b + \begin{pmatrix} 4\\0\\1\\0\\1 \end{pmatrix} c$$

Als Matrix(B):

$$\begin{pmatrix} 2 & 2 & 4 \\  1 & 0 & 0 \\  3 & 0 & 1 \\  0 & 1 & 0 \\  0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$$

Nun soll gelten: Meine Matrix A x B soll Nullmatrix sein.

Das passt auch soweit.

Was ich nun versuche zu verstehen ist, wenn ich nun drei andere Variablen aussuche, also statt x2,x4,x5, z.B x3=a, x4=b, x2=c kriege ich eine ganz andere Matrix am Ende und die Bedingung Matrix A x B soll Nullmatrix sein gilt nicht mehr.

Answer 1

>Nun soll gelten: Meine Matrix A x B soll Nullmatrix sein.<

Nein, das ist nicht die ganze Geschichte...

R^2x5 R^5x3 = R^2x3

eine mögliche, aber

A B = \(\left(\begin{array}{rrr}5&5&5\\5&0&5\\\end{array}\right)\)

Wenn ich die gleichen beliebigen wähle erhalte ich einen Lösungsvektor von

\(\small IL \, :=  \, \left(\begin{array}{r}2 \; t_1 - 3 \; t_2 + 4 \; t_3\\t_1\\-2 \; t_1 - 4 \; t_3\\t_2\\t_3\\\end{array}\right)\)

eine Basis wäre also

\(\small B_{IL}= \left\{ \begin{array}{rrr}2&-3&4\\1&0&0\\-2&0&-4\\0&1&0\\0&0&1\\\end{array} \right\} \)

und Deine Vektoren müssten sich als Linearkombination damit erzeugen lassen.

jede beliebige linearkombination von IL (t1,t2,t3 beliebig) ist eine Lösung des LGS A x = 0

A IL = 0

Ich hab eine App, die das durchrechnet

https://www.geogebra.org/m/kr6aduce

A:={{1, 0, 1, 3, 0}, {0, 2,1, 0, 4}}

b:={{0},{0}}

das ergibt sich

\(\small IL \, :=  \, \left(\begin{array}{r}-t_1 - 3 \; t_2\\\frac{-1}{2} \; t_1 - 2 \; t_3\\t_1\\t_2\\t_3\\\end{array}\right)\)

Um Deine Auswahl darzustellen muss man an verschiedenen Stellen Spalten/Zeilen tauschen.

Ich würde die beliebig zu wählenden auch nicht apriori festlegen, damit verbaut man sich evtl. mögliche Vereinfachungen die sich auf dem Weg ergeben....

Comments

Man muss aber beachten, dass ich die Rechenoperationen im Z₅ Körper durchführe das heißt 5 Mod 5 ist = 0

Ich muss aber auch ergänzen, dass ich herausgefunden habe, was mein Fehler war. Ich habe vergessen eine Gleichung zu teilen. Ich habe nämlich

x₅ = -2x₂ - x₃

gerechnet statt, 4x₅ = -2x₂ - x₃

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Ajee, das hab ich überlesen....mit Brille wär das nicht passiert

Ich lass die Antwort so stehen...und rechne mal eine alternative zu Deiner Lösung mod 5 diesmal...

So das Beispiel

\(\small IL \, :=  \, \left(\begin{array}{r}-t_1 - 3 \; t_2\\-3 \; t_1 - 2 \; t_3\\t_1\\t_2\\t_3\\\end{array}\right) mod\, 5\,→ \left(\begin{array}{r}4 \; t_1 + 2 \; t_2\\2 \; t_1 + 3 \; t_3\\t_1\\t_2\\t_3\\\end{array}\right)\)

Das mit Divisionen würde ich auch lassen und einen entsprechenden Faktor suchen: z.B. zweite Zeile

\(\small A_1 \, :=  \, \left(\begin{array}{rrrrrr|r}1&0&1&3&0&0&\\0&2&1&0&4&0&*3\\\end{array}\right) \)

\(\small A_1' \, :=  \, \left(\begin{array}{rrrrrr}1&0&1&3&0&0\\0&6&3&0&12&0\\\end{array}\right)\)

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Jo danke dir :D

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Nochmals danke dir für dein Beispiel.

Durch dein Beispiel ist mir klar geworden, dass man einfach die zweite Zeile mit einem Faktor multiplizieren könnte, das macht alles einfacher.

Auf sowas kommt man natürlich nicht in der Prüfung sondern erst danach :/