a) Wie lange dauert es bis der Glühwein eine Temperatur von \( 25^{\circ} \mathrm{C} \) erreicht?
Um herauszufinden, wie lange es dauert, bis der Glühwein eine Temperatur von 25 Grad erreicht hat, müssen wir zunächst eine Gleichung aufstellen, die die Abkühlung des Glühweins beschreibt. Die Abkühlung des Glühweins ist proportional zur Temperaturdifferenz zwischen Glühwein und Außentemperatur. Das bedeutet, dass die Abkühlungsgeschwindigkeit des Glühweins umso größer ist, je größer die Differenz zwischen der Glühweintemperatur und der Zimmertemperatur ist.
Wir können die Abkühlungsgeschwindigkeit des Glühweins durch die folgende Gleichung beschreiben:
dT/dt = k * (T - 20)
In dieser Gleichung ist dT/dt die Abkühlungsgeschwindigkeit des Glühweins, T ist die aktuelle Temperatur des Glühweins und k ist eine Konstante, die die Stärke der Proportionalität zwischen Abkühlungsgeschwindigkeit und Temperaturdifferenz beschreibt. Wir können die Konstante k durch Vergleichen der bekannten Werte in der Gleichung bestimmen.
Nach 10 Minuten hat der Glühwein eine Temperatur von 60 Grad erreicht. Wir können also die Gleichung mit diesen Werten lösen, um die Konstante k zu bestimmen:
(60 - 20) / 10 = k
Durch Berechnen erhalten wir k = 4.
Nun können wir die Gleichung verwenden, um herauszufinden, wie lange es dauert, bis der Glühwein eine Temperatur von 25 Grad erreicht hat. Wir setzen 25 für T und 0 für dt in die Gleichung ein und lösen nach dt:
0 = 4 * (25 - 20)
dt = 5 / 4
Es dauert also ungefähr 5/4 = 1,25 Minuten, bis der Glühwein eine Temperatur von 25 Grad erreicht hat.
b)
Die allgemeine Funktion für den Zusammenhang zwischen der Temperatur des Glühweins und der Zeit ist gegeben durch die Differentialgleichung, die wir in der vorherigen Antwort aufgestellt haben:
dT/dt = k * (T - 20)
Diese Gleichung beschreibt, wie sich die Temperatur des Glühweins im Laufe der Zeit ändert, wobei k eine Konstante ist, die die Stärke der Proportionalität zwischen Abkühlungsgeschwindigkeit und Temperaturdifferenz beschreibt.
Um die allgemeine Funktion T(t) für diesen Zusammenhang darzustellen, müssen wir die Differentialgleichung integrieren. Wir können dazu die beiden Seiten der Gleichung durch dt teilen und dann die resultierende Gleichung integrieren:
T(t) = k * (T - 20) * dt + C
In dieser Gleichung ist T(t) die Funktion, die die Temperatur des Glühweins zu einem gegebenen Zeitpunkt t beschreibt, k ist die Konstante, die die Stärke der Proportionalität zwischen Abkühlungsgeschwindigkeit und Temperaturdifferenz beschreibt, und C ist eine Konstante der Integration.
Um C zu bestimmen, müssen wir einen Wert für T(t) zu einem gegebenen Zeitpunkt t angeben. Wenn wir zum Beispiel annehmen, dass der Glühwein zu Beginn der Messung eine Temperatur von 100 Grad hat, dann können wir C wie folgt bestimmen:
T(0) = 100 = k * (100 - 20) * 0 + C
C = 100
Mit diesem Wert für C können wir die allgemeine Funktion T(t) für den Zusammenhang zwischen der Temperatur des Glühweins und der Zeit darstellen:
T(t) = k * (T - 20) * dt + 100
Diese Gleichung beschreibt, wie sich die Temperatur des Glühweins im Laufe der Zeit ändert, wobei k eine Konstante ist, die die Stärke der Proportionalität zwischen Abkühlungsgeschwindigkeit und Temperaturdifferenz beschreibt, und C ist eine Konstante der Integration, die durch die Anfangstemperatur des Glühweins bestimmt wird.
c)
Die Funktion T(t) hat daher eine negative Steigung, wenn die Temperatur des Glühweins höher als die Zimmertemperatur ist, und eine positive Steigung, wenn die Temperatur des Glühweins niedriger als die Zimmertemperatur ist. Die Steigung der Funktion wird immer kleiner, je näher die Temperatur des Glühweins der Zimmertemperatur kommt.
Die Funktion T(t) sieht daher ungefähr wie folgt aus:
[Sketch not available]
Der Glühwein erreicht näherungsweise Zimmertemperatur, wenn die Temperaturdifferenz zwischen Glühwein und Zimmertemperatur sehr klein ist und die Abkühlungsgeschwindigkeit des Glühweins daher auch sehr klein ist. Genauer gesagt erreicht der Glühwein näherungsweise Zimmertemperatur, wenn T(t) = 20 ist.
