(a)
$$\left(\frac{n^3}{\sqrt{n^2 + a}} - \frac{n^3}{\sqrt{n^2 + b}}\right) =n^3 \frac{\sqrt{n^2 + b} - \sqrt{n^2 + a}}{\sqrt{n^2 + a} \cdot \sqrt{n^2 + b}}$$
$$= \frac{n}{\sqrt{1 + \frac a{n^2}} \cdot \sqrt{1 + \frac b{n^2}}}\cdot \frac{n^2 + b -( n^2 + a)}{\sqrt{n^2 + b} + \sqrt{n^2 + a}} $$
$$= \frac{1}{\sqrt{1 + \frac a{n^2}} \cdot \sqrt{1 + \frac b{n^2}}}\cdot \frac{b -a}{\sqrt{1 + \frac b{n^2}} + \sqrt{1 + \frac a{n^2}}}\stackrel{n\to\infty}{\longrightarrow}\frac {b-a}2$$
(b) Der Hinweis ist praktisch die Lösung. Für eine beliebige reelle Zahl \(c>0\) gilt
$$ \lim_{n\to\infty} \sqrt[n] c = 1$$
D.h.,
$$1 < 1+\left(\frac ba\right)^n < 2 \Rightarrow 1 < \sqrt[n]{1+\left(\frac ba\right)^n} < \sqrt[n]{2}\stackrel{n\to\infty}{\longrightarrow}1$$
Laut "Einschnürungssatz" (oder auch "Sandwich-Theorem") gilt daher
$$\lim_{n\to\infty} \sqrt[n]{1+\left(\frac ba\right)^n} = 1$$
Die letzte Zeile darfst du selber aufschreiben. :-)
