Komplexe Zahlen Konvergenz

Question

Aufgabe:

$$(\frac{(1+i)}{\sqrt{2}})^{n}$$

Entscheiden sie ob die Folge konvergiert und bestimmen sie ggf. den Grenzwert. Falls die Folge divergent ist , gibt es eine konvergente Teilfolge ?

Problem/Ansatz:

Komplett Lost, ich weiß das die Folge die ganze Zeit zwischen +i und - i rum oszilliert.

Aber ich weiß nicht wie ich sie in Realteil und Imaginärteil aufteilen kann , sodass ich es zeigen kann.

Wäre das dann überhaupt richtig , wenn die Folge nur einen Imaginären Grenzwert hat ?

Danke für die Hilfe

Answer 1

Es ist $$\left| \frac{1+i}{\sqrt 2}\right|=1$$ Damit kannst du diese Zahl so schreiben: $$\frac{1+i}{\sqrt 2} = \cos a + i \sin a \text{ mit geeignetem } a$$ D.h., du suchst jetzt ein \(a \in [0,2\pi)\), so dass gilt $$\cos a = \sin a = \frac 1{\sqrt 2} \Rightarrow a= \frac{\pi}4$$Somit weißt du nun $$\left( \frac{1+i}{\sqrt 2}\right)^n = \cos \frac{\pi}4 n + i \sin \frac{\pi}4 n$$ Für z. Bsp. \(n=8k,\; k=1,2,3,\ldots\) erhältst du $$\left( \frac{1+i}{\sqrt 2}\right)^{8k} = \cos 2\pi k + i \sin 2\pi k = 1$$. Für \(n=4+8k,\; k=1,2,3,\ldots\) erhältst du $$\left( \frac{1+i}{\sqrt 2}\right)^{4+8k} = \cos (2k+1)\pi + i \sin (2k+1)\pi = -1$$

Damit ist die Folge divergent und oben hast du gleich zwei konvergente (konstante) Teilfolgen.

Comments

Danke für die schnelle Antwort. Ich schau mal nach im Skript ob wir das mit den cos und sin schon hatten. Kann mich nicht dran erinnern.

Danke für die schnelle Antwort beste Forum :)

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Falls ihr die Notation mit der Eulerzahl e hattet, kann ich das nochmal mit e aufschreiben. Ist aber im wesentlichen dasselbe.

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Tatsächlich hatten wir die Notation mit der Eulerzahl $$e^{ix}$$ = cos x + i sin x.

Wie schreibt man das damit auf ?

Danke

Answer 2

Die gegebene Folge ist vom Formen ((a+bi)/c)^n, wobei a=1, b=1, und c=Wurzel 2 sind.

Um zu entscheiden, ob die Folge konvergiert oder divergiert, können wir uns ansehen, wie sich der Betrag von (a+bi)/c mit zunehmendem n verändert. Wenn der Betrag von (a+bi)/c für alle n gleich bleibt, dann konvergiert die Folge gegen einen endlichen Grenzwert. Wenn der Betrag von (a+bi)/c jedoch größer wird, wenn n größer wird, dann divergiert die Folge.

Im Fall von ((1+i)/Wurzel 2)^n ist der Betrag von (1+i)/Wurzel 2 gleich 1/Wurzel 2. Da der Betrag von (1+i)/Wurzel 2 für alle Werte von n gleich bleibt, konvergiert die Folge gegen den Grenzwert 1/Wurzel 2.

Es gibt keine konvergente Teilfolge, da die gegebene Folge selbst konvergent ist.

Um die Folge in realteil und imaginärteil aufzuteilen, kann man sie in die Form ((1+i)/Wurzel 2)^n = (cos(n45°)+isin(n45°)) schreiben und dann den realteil als cos(n45°) und den imaginärteil als isin(n45°) betrachten. ich weiß nun nicht ob ihr das schon hattet, jedoch würde ich es so lösen.

Lg

Comments

Danke für die Antwort muss ich im Skript mal nachschauen ,aber meines Wissens hätten wir das nicht . Deswegen wahrscheinlich die Verwirrung