Beweise, dass es mindestens ein x gibt, so dass x^3 + ax + b = 0

Question

Sei a,b ∈ ℝ und a > 0. Beweise, dass es mindestens ein x ∈ ℝ gibt, so dass x^3 + ax + b = 0.

Hier soll ich vermutlich den Zwischenwertsatz anwenden.

Comments

Wenn es mit dem Zwischenwertsatz gezeigt werden soll: Definiere \(h(x)=x^3+ax+b\).
Wähle \(x_1=0\) und \(x_2=-{\large\frac ba}\). Dann ist \(h(x_1){\cdot}h(x_2)=-{\large\frac{b^4}{a^3}}\le0\).

Answer 1

\(f(x)=x^3+a*x+b\)    mit \(a∈ℝ\)   mit \(a>0\)    mit  \(b∈ℝ\)

Es gilt mit \(a=0\)    \(f(x)=x^3+b\)

Das ist eine kubische Parabel mit einem Sattelpunkt (Terrassenpunkt) an der Stelle \(x=0\). Dort ist nun eine waagerechte Tangente.

mit \(a>0\):

\(f´(x)=3x^2+a\)    Mit \(3x^2+a=0\)  gibt es nun keine lokale Extremstelle.

\(f´(0)=a\)   Die entstehende Wendetangente hat somit immer die Steigung \(m=a\)

Somit gibt es eine Nullstelle.

Answer 2

Um zu beweisen, dass für eine gegebene Gleichung immer eine Lösung existiert, können wir einen allgemeinen Ansatz verwenden, der als "Fähigkeit" bezeichnet wird. Die Idee dahinter ist, dass wir eine Funktion f(x) = x3 + ax + b definieren und dann zeigen, dass f(x) immer eine Nullstelle hat.

Um zu zeigen, dass f(x) immer eine Nullstelle hat, müssen wir zunächst zeigen, dass f(x) immer eine konvergente Folge hat. Eine Folge ist konvergent, wenn sie gegen einen endlichen Grenzwert konvergiert. In diesem Fall können wir zeigen, dass f(x) immer gegen Null konvergiert, wenn x gegen Unendlich geht.

Betrachten wir zunächst den Term x3 in der Funktion f(x). Wir wissen, dass x3 gegen Unendlich geht, wenn x gegen Unendlich geht. Da a > 0, geht auch der Term ax gegen Unendlich, wenn x gegen Unendlich geht. Somit geht f(x) gegen Unendlich, wenn x gegen Unendlich geht.

Nun betrachten wir den Term b in der Funktion f(x). Da b eine Konstante ist, geht der Term b gegen einen endlichen Grenzwert, wenn x gegen Unendlich geht. Somit geht f(x) gegen einen endlichen Grenzwert, wenn x gegen Unendlich geht.

Da f(x) sowohl gegen Unendlich als auch gegen einen endlichen Grenzwert geht, wenn x gegen Unendlich geht, muss f(x) immer eine Nullstelle haben. Dies beweist, dass es für jede gegebene Gleichung immer eine Lösung gibt.

Comments

Schrieb das ein Computerprogramm ?
Welcher Mensch könnte sich so etwas ausdenken.

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"Da f(x) sowohl gegen Unendlich als auch gegen einen endlichen Grenzwert geht, wenn x gegen Unendlich geht"

Wie soll das möglich sein ?

"Eine Folge ist konvergent, wenn sie gegen einen endlichen Grenzwert konvergiert. In diesem Fall können wir zeigen, dass f(x) immer gegen Null konvergiert, wenn x gegen Unendlich geht."

Wieder einmal "Neue Mathematik" ?  Naja, man lernt nie aus .....