Berechnen Sie den Inhalt der Fläche, die durch das Schaubild der Funktionen f und g eingeschlossen wird, mit

Question

Aufgabe:

Berechnen Sie den Inhalt der Fläche, die durch das Schaubild der Funktionen \( f \) und \( g \) eingeschlossen wird, mit
\( f(x)=6 \cdot x^{2}-23 \cdot x-25 \quad \text { und } \quad g(x)=x+5 \)

Hier gibt es eine ähnliche Aufgabe (mit verschiedenen Zahlen natürlich), wie diese. Allerdings verstehe ich es nicht ganz und wollte hier mal meine Aufgabe reinstellen. Könnte mir jemand hier die Lösung + Weg verraten? Danke im voraus :)

Comments

Schau mal hier

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Bei Berechnungen von einer Fläche, die sich zwischen zwei Parabelstücken oder einer Gerade und einem Parabelstück befindet (so wie hier), ist eine Integration nicht unbedingt notwendig.

Bereche zunächst die Schnittpunkte (hier \(x_1=-1\) und \(x_2=5\)) und deren Abstand \(d\)$$d = x_2-x_1 = 5-(-1)=6$$und die Mitte \(m\)$$m = \frac{1}{2}(x_1+x_2) = \frac{1}{2}(5+(-1)) = 2$$und dann ist die Fläche \(A\) zwischen den Funktionen \(f\) und \(g\)$$A = \frac{2}{3}\,d \cdot |g(m)-f(m)| \\\phantom{A}= \frac{2}{3} \cdot 6 \cdot|g(2)-f(2)| = 4\cdot|7 - (-47)| = 216$$

Answer 1

Hi,

Du möchtest den Flächeninhalt bestimmen, der von den beiden Funktionen eingeschlossen wird. Dazu musst Du erstmal die Schnittstellen finden. Wenn Du beide Funktionen gleichsetzt kannst Du das quadratische Problem bspw mit der pq-Formel lösen.

Hier erhältst Du dann die Nullstellen x = -1 und x = 5.

Eine Fläche berechnet man über das Integral. Die Grenzen dafür haben wir gerade eben bestimmt. Die Fläche, die wir berechnen wollen geben wir dabei mit der Differenzfunktion h(x) = f(x) - g(x) an.

H(x) = [2x^3-12x^2-30x]

Mit den obigen Grenzen ergibt dass dann H = -216.

Da wir für die Flächenberechnung den Betrag nimmt ist die gesuchte Fläche als A = |H| = 216.

Grüße