Nullnorm einer Funktionenfolge

Question

Aufgabe:

Berechnen Sie jeweils die ||.||₀ - Norm der Funktionenfolgen, sofern diese in den jeweiligen Räumen enthalten ist:

g(x) = sin(nx)/\( \sqrt{n} \)  auf D = [0,1]

Problem/Ansatz:

Hallo! Bei dieser Aufgabe kann ich die Lösung meines Dozenten leider nicht nachvollziehen. Er hat hier für die beiden Fälle n = 1 und n > 1 unterschieden, wobei ich den ersten Fall und die Unterscheidung an sich auch verstehe. Die Nullnorm der Funktionenfolge für den Fall n > 1 ist laut meinem Dozenten allerdings 1/\( \sqrt{n} \).

Meiner Meinung nach sollte die Lösung sin(n)/\( \sqrt{n} \) sein. Warum wird aus dem Sinus hier 1?

Comments

Wie ist denn die \( \| \cdot \|_0 \) bei Euch definiert?

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Text erkannt:

\( \|y\|_{0}:=\|y\|_{0,[a, b]}:=\max _{x \in[a, b]}|y(x)| \)

Answer 1

In der Aufgabe wird die $l^0$-Norm der Funktionenfolge $g(x) = \frac{\sin(nx)}{\sqrt{n}}$ für $x \in [0,1]$ berechnet. Die $l^0$-Norm einer Funktionenfolge $f_n$ ist definiert als die Anzahl der nicht-nullen Elemente der Folge. In diesem Fall ist die $l^0$-Norm von $g(x)$ also gleich der Anzahl der $x \in [0,1]$, für die $g(x) \neq 0$.

Wenn $n = 1$, dann ist $g(x) = \frac{\sin(x)}{\sqrt{1}} = \sin(x)$, und die $l^0$-Norm von $g(x)$ ist 2, da $g(0) = 0$ und $g(1) = 0$.

Wenn $n > 1$, dann ist $g(x) = \frac{\sin(nx)}{\sqrt{n}}$. Wie bereits erwähnt, ist die $l^0$-Norm von $g(x)$ gleich der Anzahl der $x \in [0,1]$, für die $g(x) \neq 0$. Da $\sin(nx)$ periodisch ist und eine Periode von $2\pi$ hat, gibt es für jeden Wert von $n$ genau eine Stelle in $[0,1]$, an der $\sin(nx) \neq 0$. Daher ist die $l^0$-Norm von $g(x)$ für $n > 1$ immer 1.

In diesem Fall wäre die Lösung also tatsächlich $\frac{1}{\sqrt{n}}$, da dies die Anzahl der nicht-nullen Elemente der Funktionenfolge $g(x)$ für $n > 1$ darstellt.

Answer 2

Mit \( g(x) = \frac{ \sin( nx )  }{ \sqrt{n} } \) folgt \( g'(x) = \frac{ \cos(nx) \cdot n }{ \sqrt{n} } \) und \( g''(x) = -\frac{ \sin(nx) \cdot n^2 } { \sqrt{n} } \)

\( g'(x) \) wird Null für \( x_1 = \frac{\pi}{2n} \)  und \( g''(x_1) = -\frac{n^2}{\sqrt{n}} < 0 \)

Also liegt bei \( x_1 \) ein Maximum vor und es gilt

$$ g(x_1) = \frac{ \sin\left( \frac{\pi}{2}  \right)  }{ \sqrt{n}  } = \frac{1}{\sqrt{n}} $$

Ich glaube man muss auch nicht zwischen \( n = 1 \) und \( n > 1 \) unterscheiden.