Berechnen Sie die Koordinaten von p bezüglich der Basis B sowie den Punkt q=F(p)

Question

Es sei $p=\left(\begin{array}{r}3 \\ -2 \\ 4\end{array}\right) \in \mathbb{R}^{3}$ und $F: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{3}$ sei linear und habe bezüglich der Basis

$B=\left(v_{1}, v_{2}, v_{3}\right)=\left(\begin{array}{rrr}1 & 1 & 0 \\ 1 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right)$ die Matrix $F_{B}=\left(\begin{array}{rrr}-1 & -2 & 0 \\ 2 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 2\end{array}\right)$

Berechnen Sie die Koordinaten von $p$ bezüglich der Basis $B$ sowie den Punkt $q=F(p)$.

Answer 1

Du fängst damit an, in dem du den Vektor p als Linearkombination der 3 Basisvektoren der neuen Basis darstellst.

Es muss gelten:

$$a*\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0\end{pmatrix} + b*\begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 0\end{pmatrix} + c*\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1\end{pmatrix} = \vec{ p }=\begin{pmatrix} 3 \\ -2 \\ 4\end{pmatrix}$$

Damit ergeben sich 3 Gleichungen:

1) a + b = 3

2) a - b = -2

3) c = 4

2) umgestellt nach a:

a = -2 + b

in 1) eingesetzt:

-2 + b + b = 3

b = 2,5

mit 2)

a = 0,5

Also lauten die Koordinaten von p bzgl. der Basis B: $$\vec{ p }_{B}=\begin{pmatrix} 0,5 \\ 2,5 \\ 4\end{pmatrix}$$

Jetzt kann die Matrix der linearen Abbildung F auf p angewandt werden, um q zu ermitteln.

Dies geschieht durch einfache Multiplikation:

$$ \vec{ q }=\begin{pmatrix} -1 & -2 & 0  \\ 2 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 2\end{pmatrix} * \begin{pmatrix} 0,5 \\ 2,5 \\ 4\end{pmatrix} \\

= \begin{pmatrix} -5,5 \\ 8,5 \\ 8\end{pmatrix}$$